高中数学：幂函数最新教案

函数 

目录·简介·复合函数·反函数·隐函数·多元函数·二次函数·一次函数·三角函数·函数概念的发展历史简介在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other    应变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set    函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。functions 　　数学中的一种对应关系，是从某集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个不空集合，Y是某个实数集合 ，f是个规则 ， 若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应 ， 就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为因变量。 　　例1：y＝sinx X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］ ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。 其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为［0，b］。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图像法。 　　复合函数有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数： 　　x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U 。 f的值域为U，当UÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。 　　反函数就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。 　　隐函数若能由函数方程 F（x，y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。 　　多元函数设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。 　　基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。 　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。 ②指数函数：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。 ③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。 以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。 ④三角函数：见表2。 正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。 ⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。 ⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。 [编辑]补充在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。 术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。 

3 注意下列性质：

 

 要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有 种选择， 即集合A有 个子集。

当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 ，非空真子集个数为 

 

    （3）德摩根定律：

 

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

 

4 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

     

的取值范围。

 

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 上单调递减，在 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

      

     

     

  命题的四种形式及其相互关系是什么？

    （互为逆否关系的命题是等价命题。）

    原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

   满足条件 ， 满足条件 ，

若                 ；则 是 的充分非必要条件 ；

若                 ；则 是 的必要非充分条件 ；

若                 ；则 是 的充要条件 ；

若                 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

 

7 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若 ， ；问： 到 的映射有      个， 到 的映射有     个； 到 的函数有     个，若 ，则 到 的一一映射有     个。

函数 的图象与直线 交点的个数为             个。

 8 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

    （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

  9 求函数的定义域有哪些常见类型？

    

函数定义域求法：

 分式中的分母不为零；

 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

 指数式的底数大于零且不等于一；

 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

 正切函数    

 余切函数    

 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ，值域是 ，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 ，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) 

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10 如何求复合函数的定义域？

     

义域是_____________。 

幂函数

概念

　　形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 　　

a小于0时，x不等于0； 　　

q为偶数时，x不小于0； 　　

q为奇数时，x取R。

定义域与值域

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 　

1在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

2在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况

第一象限的特殊性

　　可以看到： 　　

（1）所有的图形都通过（1，1）这点(a≠0) a>0时 图象过点（0，0）和（1，1） 　　

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增为增函数 　　而a小于0时，幂函数为单调递减为减函数。 　　

（3）当a大于1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。当a小于0时，图像为双曲线。 　　

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 　　

（5）显然幂函数无界限。 　

（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

图象

　　 幂函数的图象： 　　①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数 　　②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数，第一象限为减函数 　　③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1) 　　④当0<a<1时，函数是增函数 　　⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数 　　⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数

自然界与社会生活中,许多科学家感兴趣的事件往往都有一个典型的规模,个体的尺度在这一特征尺度附近变化很小 比如说人的身高,中国成年男子的身高绝大多数都在平均值170m左右 当然,地域不同这一数值会有一定的变化,但无论怎样,我们从未在大街上见过身高低于10cm的“小矮人”,或高于10m的“巨人” 如果我们以身高为横坐标,以取得此身高的人数或概率为纵坐标,可绘出一条钟形分布曲线,这种曲线两边衰减得极快;类似这样以一个平均值就能表征出整个群体特性的分布,我们称之为泊松分布。另外一个我们要注意的是最高的人与最矮的人的身高之比,根据吉尼斯世界纪录,世界上最高的人与最矮的人(均已去世)的身高分别是2 72m和0 57m,二者之比为4 8,这个数值并不是很大,我们将在下文中证实。

对于另一些分布,像国家GDP或个人收入的分布,情况就大不一样了,个体的尺度可以在很宽的范围内变化,这种波动往往可以跨越多个数量级 比如根据世界银行的统计,最富有的国家—美国,其2003年GDP高达10, 881, 609, 000, 000美元(一个天文数字) ,而数据显示同年GDP最低的国家—西非岛国圣多美和普林西比,只有54, 000, 000美元,二者之比高达201511 3 个人收入分布亦是如此,想想世界首富比尔·盖茨那高达465亿美元的个人资产就清楚了 国家或城市人口的分布也会出现类似的情形 据世界银行的统计, 2003年人口最多的国家—中国,总人口数多达1, 288, 400,000,而数据显示同年人口最少的国家—西太平洋上的帕劳群岛,人口数仅为20, 000 (不及中国一个普通县城的人口数) ,二者之比有64420之多。 以收入或人口数为横坐标,以不低于该收入值或人口数的个体数或概率为纵坐标,可绘出一条向右偏斜得很厉害,拖着长长“尾巴”的累积分布曲线 ,它与钟形的泊松分布曲线有显著的不同 这种“长尾”分布表明,绝大多数个体的尺度很小,而只有少数个体的尺度相当大,像国家人口,全世界有224个国家和地区,只有11个国家的人口数超过一亿。

对“长尾”分布研究做出重要贡献的是Zipf和Pareto ,虽然他们并不是这种分布的最早发现者1932年,哈佛大学的语言学专家Zipf在研究英文单词出现的频率时,发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列,则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系: P ( r) ～r-α ,这种分布就称为Zipf定律,它表明在英语单词中,只有极少数的词被经常使用,而绝大多数词很少被使用 实际上,包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点 物理世界在相当程度上是具有惰性的,动态过程总能找到能量消耗最少的途径,人类的语言经过千万年的演化,最终也具有了这种特性,词频的差异有助于使用较少的词汇表达尽可能多的语义,符合“最小努力原则” 分形几何学的创始人Mandelbrot对Zipf定律进行了修订,增加了几个参数,使其更符合实际的情形。

19世纪的意大利经济学家Pareto研究了个人收入的统计分布,发现少数人的收入要远多于大多数人的收入,提出了著名的80/20 法则,即20%的人口占据了80%的社会财富 个人收入X 不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系: P [X ≥x ]～x - k ,此式即为Pareto定律(帕累托定律)。

Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数,我们称之为幂律分布;还有其他形式的幂律分布,像名次- 规模分布、规模- 概率分布,这四种形式在数学上是等价的,其通式可写成y = cx^(-r),其中x, y是正的随机变量,c, r均为大于零的常数 这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小,而只有少数事件的规模相当大 对上式两边取对数,可知lny与lnx满足线性关系lny= lnc - rlnx,也即在双对数坐标下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。

判断两个随机变量是否满足线性关系,可以求解两者之间的相关系数;利用一元线性回归模型和最小二乘法,可得lny对lnx的经验回归直线方程,从而得到y与x之间的幂律关系式在双对数坐标下的图形,由于某些因素的影响,前半部分的线性特性并不是很强,而在后半部分,则近乎为一直线,其斜率的负数就是幂指数。

利用上标或下标的表示法。如10的-5次方，可以多行文字打入10-5^，然后选中-5^，在多行文字编辑栏点取堆叠符号（也就是分数符号）即可表示出来。如果是10下标-5，多行文字输入10^-5,选中^-5，点击堆叠符号即可。

有的学生认为高中数学难做难做。其实高中数学整体上很简单，很简单，很多知识只要读两遍就可以了。下面是我整理的高中数学知识点大全，希望对你们有所帮助! 高中数学知识点 1、基本初等函数 指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。 2、函数的应用 这一章主要考是函数与方程的结合，其实就是函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的 方法 ，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这些难点对应的证明方法都要记住，多练习。二次函数的零点的Δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。 3、空间几何 三视图和直观图的绘制不算难，但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感，要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物，这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图，把实物图和平面图结合起来看，先熟练地正推，再慢慢的逆推(建议用纸做一个立方体来找感觉)。 在做题时结合草图是有必要的，不能单凭想象。后面的锥体、柱体、台体的表面积和体积，把公式记牢问题就不大。 4、点、直线、平面之间的位置关系 这一章除了面与面的相交外，对空间概念的要求不强，大部分都可以直接画图，这就要求学生多看图。自己画草图的时候要严格注意好实线虚线，这是个规范性问题。 关于这一章的内容，牢记直线与直线、面与面、直线与 面相 交、垂直、平行的几大定理及几大性质，同时能用图形语言、文字语言、数学表达式表示出来。只要这些全部过关这一章就解决了一大半。这一章的难点在于二面角这个概念，大多同学即使知道有这个概念，也无法理解怎么在二面里面做出这个角。对这种情况只有从定义入手，先要把定义记牢，再多做多看，这个没有什么捷径可走。 5、圆与方程 能熟练地把一般式方程转化为标准方程，通常的考试形式是等式的一边含根号，另一边不含，这时就要注意开方后定义域或值域的限制。通过点到点的距离、点到直线的距离、圆半径的大小关系来判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。另外注意圆的对称性引起的相切、相交等的多种情况，自己把几种对称的形式罗列出来，多思考就不难理解了。 6、三角函数 考试必在这一块出题，且题量不小!诱导公式和基本三角函数图像的一些性质，没有太大难度，只要会画图就行。难度都在三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相上，及根据最值计算A、B的值和周期，及恒等变化时的图像及性质变化，这部分的知识点内容较多，需要多花时间，不要再定义上死扣，要从图像和例题入手。 7、平面向量 向量的运算性质及三角形法则、平行四边形法则的难度都不大，只要在计算的时候记住要“同起点的向量”这一条就OK了。向量共线和垂直的数学表达，是计算当中经常用到的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。分点坐标公式是重点内容，也是难点内容，要花心思记忆。 8、三角恒等变换 这一章公式特别多，像差倍半角公式这类内容常会出现，所以必须要记牢。由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写好后贴在桌子上，天天都要看。要提一点，就是三角恒等变换是有一定规律的，记忆的时候可以集合三角函数去记。 9、解三角形 掌握正弦、余弦公式及其变式、推论、三角面积公式即可。 10、数列 等差、等比数列的通项公式、前n项及一些性质常出现于填空、解答题中，这部分内容学起来比较简单，但考验对其推导、计算、活用的层面较深，因此要仔细。考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。 11、不等式 这一章一般用线性规划的形式来考察学生，这种题通常是和实际问题联系的，所以要会读题，从题中找不等式，画出线性规划图，然后再根据实际问题的限制要求来求最值。

高中数学公式大全 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1_X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c_h 斜棱柱侧面积 S=c'_h 正棱锥侧面积 S=1/2c_h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi_r2 圆柱侧面积 S=c_h=2pi_h 圆锥侧面积 S=1/2_c_l=pi_r_l 弧长公式 l=a_r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2_l_r 锥体体积公式 V=1/3_S_H 圆锥体体积公式 V=1/3_pi_r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s_h 圆柱体 V=pi_r2h 高考前数学知识点 总结 选择填空题 1、易错点归纳： 九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。 针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。 2、答题方法： 选择题十大速解方法： 排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法; 填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。 解答题 专题一、三角变换与三角函数的性质问题 1、解题路线图 ①不同角化同角 ②降幂扩角 ③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ④结合性质求解。 2、构建答题模板 ①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。 ②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。 ③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。 ④ 反思 ：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。 专题二、解三角形问题 1、解题路线图 (1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。 (2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。 2、构建答题模板 ①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。 ②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。 ③求结果。 ④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。 专题三、数列的通项、求和问题 1、解题路线图 ①先求某一项，或者找到数列的关系式。 ②求通项公式。 ③求数列和通式。 2、构建答题模板 ①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。 ②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。 ③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。 ④写步骤：规范写出求和步骤。 ⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。 专题四、利用空间向量求角问题 1、解题路线图 ①建立坐标系，并用坐标来表示向量。 ②空间向量的坐标运算。 ③用向量工具求空间的角和距离。 2、构建答题模板 ①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。 ②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。 ③求向量：求直线的方向向量或平面的'法向量。 ④求夹角：计算向量的夹角。 ⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。 专题五、圆锥曲线中的范围问题 1、解题路线图 ①设方程。 ②解系数。 ③得结论。 2、构建答题模板 ①提关系：从题设条件中提取不等关系式。 ②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。 ③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。 ④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。 专题六、解析几何中的探索性问题 1、解题路线图 ①一般先假设这种情况成立(点存在、直线存在、位置关系存在等) ②将上面的假设代入已知条件求解。 ③得出结论。 2、构建答题模板 ①先假定：假设结论成立。 ②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。 ③下结论：若推出合理结果， 经验 证成立则肯。 定假设;若推出矛盾则否定假设。 ④再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性。 专题七、离散型随机变量的均值与方差 1、解题路线图 (1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。 (2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。 2、构建答题模板 ①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。 ②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。 ③定型：确定事件的概率模型和计算公式。 ④计算：计算随机变量取每一个值的概率。 ⑤列表：列出分布列。 ⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。 专题八、函数的单调性、极值、最值问题 1、解题路线图 (1)①先对函数求导;②计算出某一点的斜率;③得出切线方程。 (2)①先对函数求导;②谈论导数的正负性;③列表观察原函数值;④得到原函数的单调区间和极值。 2、构建答题模板 ①求导数：求f(x)的导数f′(x)。(注意f(x)的定义域) ②解方程：解f′(x)=0，得方程的根 ③列表格：利用f′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。 ④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。 ⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。 以上模板仅供参考，希望大家能针对自己的情况整理出来最适合的“套路”。 高中数学 学习心得 数学是一们基础学科，我们从小就开始接触到它。现在我们已经步入高中，由于高中数学对知识的难度、深度、广度要求更高，有一部分同学由于不适应这种变化，数学成绩总是不如人意。甚至产生这样的困惑：“我在初中时数学成绩很好，可现在怎么了”其实，学习是一个不断接收新知识的过程。正是由于你在进入高中后 学习方法 或 学习态度 的影响，才会造成学得累死而成绩不好的后果。那么，究竟该如何学好高中数学呢以下我谈谈我的高中数学学习心得。 一、 认清学习的能力状态。 1、 心理素质。我们在高中学习环境下取决于我们是否具有面对挫折、冷静分析问题的办法。当我们面对困难时不应产生畏惧感，面对失败时不应灰心丧气，而要勇于正视自己，及时作出总结教训，改变学习方法。 2、 学习方式、习惯的反思与认识。(1) 学习的主动性。我们在进入高中以后，不能还像初中时那样有很强的依赖心理，不订 学习计划 ，坐等上课，课前不预习，上课忙于记笔记而忽略了真正的听课，顾此失彼，被动学习。(2) 学习的条理性。我们在每学习一课内容时，要学会将知识有条理地分为若干类，剖析概念的内涵外延，重点难点要突出。不要忙于记笔记，而对要点没有听清楚或听不全。笔记记了一大摞，问题也有一大堆。如果还不能及时巩固、总结，而忙于套着题型赶作业，对概念、定理、公式不能理解而死记硬背，则会事倍功半，收效甚微。(3) 忽视基础。在我身边，常有些“自我感觉良好”的同学，忽视基础知识、基本技能和基本方法，不能牢牢地抓住课本，而是偏重于对难题的攻解，好高骛远，重“量”而轻“质”，陷入题海，往往在考试中不是演算错误就是中途“卡壳”。(4) 不良习惯。主要有对答案，卷面书写不工整，格式不规范，不相信自己的结论，缺乏对问题解决的信心和决心，遇到问题不能独立思考，养成一种依赖于老师解说的心理，做作业不讲究效率，学习效率不高。 二、 努力提高自己的学习能力。 1、 抓要点提高学习效率。(1) 抓教材处理。正所谓“万变不离其中”。要知道，教材始终是我们学习的根本依据。教学是活的，思维也是活的，学习能力是随着知识的积累而同时形成的。我们要通过老师教学，理解所学内容在教材中的地位，并将前后知识联系起来，把握教材，才能掌握学习的主动性。(2) 抓问题暴露。对于那些典型的问题，必须及时解决，而不能把问题遗留下来，而要对遗留的问题及时、有效的解决。(3) 抓 思维训练 。数学的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。我们在平时的训练中，要注重一个思维的过程，学习能力是在不断运用中才能培养出来的。(5) 抓45分钟课堂效率。我们学习的大部分时间都在学校，如果不能很好地抓住课堂时间，而寄希望于课外去补，则会使学习效率大打折扣。 高中数学知识点大全相关 文章 ： ★ 高二数学知识点总结 ★ 高一数学必修一知识点汇总 ★ 高中数学学习方法:知识点总结最全版 ★ 高中数学知识点总结 ★ 高一数学知识点总结归纳 ★ 高三数学知识点考点总结大全 ★ 高中数学基础知识大全 ★ 高三数学知识点梳理汇总 ★ 高中数学必考知识点归纳整理 ★ 高一数学知识点总结期末必备 var _hmt = _hmt || []; 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幂

拼 音 ：mì 

部 首 ：巾 

繁 体 ：幂

本义

盖东西用的巾。

大巾谓之幂。——《小尔雅·广诂》

幂人,掌共巾幂。——《周礼·天官·幂人》。注:“共巾，可以覆物。”

幂用锡若絺。——《仪礼·大射礼》。注:“幂，覆尊巾也。”

幂用疏布。——《仪礼·既夕礼》

簠有盖幂。——《仪礼·公食大夫礼》

（一）幂首：古代妇女障面的一种头巾。

（二）幂人：《周礼》官名。掌共巾幂。

（三）幂篱：古代少数民族的一种头巾。

（四）幂历：分布覆被的样子；弥漫笼罩的样子。

：

动词

（一）覆盖。

祭祀，以疏布巾幂八尊，以画布巾幂六彝。——《周礼·天官·幂人》

青烟幂处，碧海飞金镜。——晁补之《洞仙歌》

（二）遮；蒙

幂窗用纸。——白居易《庐山草堂记》

（三）通“塓”。涂刷

葺墙幂室，房庑杂袭。——左思《魏都赋》

数学名词

乘方是指一个数字乘若干次的形式,如n个a相乘的乘方为an ，或称an为a的n次方。a称为幂的底数，n称为幂的指数，乘方的结果叫做幂。在扩充的意义下，指数n也可以是分数、负数，也可以是任意实数或复数。

参考资料：

幂-

　当细细品完一本名著后，你有什么总结呢？此时需要认真地做好记录，写写读后感了。那么你真的会写读后感吗？以下是我为大家整理的《物种起源》读后感，仅供参考，欢迎大家阅读。

《物种起源》读后感1

　《物种起源》是出自于英国著名生物学家——查尔斯·罗伯特·达尔文之手的伟大作品之一，他用自己的神思妙笔，撰写了这本家喻户晓的著作，以带着神秘色彩的文字，为我们讲述了一个又一个有趣的生物进化论，使我明白了世间万物的“平衡”之道！

　首先，就由我为大家介绍一下达尔文与他的《物种起源》吧！查尔斯·罗伯特·达尔文，英文名：truncatnles Robert Darwin，（1809 – 1882），出生于普雷斯顿，毕业于剑桥大学，英国最伟大的生物学家、博物学家之一，进化论的奠基人。曾乘贝格尔号舰作了历时5年的环球航行，对动植物和地质结构等进行了大量的观察和采集。在《物种起源》这一划时代的著作中，提出了生物进化论学说，从而摧毁了各种唯心的神造论和物种不变论。除了生物学外，他的理论对人类学、心理学及哲学的发展都有不容忽视的影响。恩格斯将“进化论”列为19世纪自然科学的三大发现之一。，

　《物种起源》，英文名为：The Origin of Species。是达尔文论述生物进化的重要著作，出版于1859年11月24日。该书大概是19世纪最具争议的著作，其中的观点大多数为当今的科学界普遍接受。在该书中，达尔文首次提出了进化论的观点。他使用自己在1830年代环球科学考察中积累的资料，达尔文试图证明物种的演化是通过自然选择（天择）和人工选择（人择）的方式实现的。

　在《物种起源》这本书里，达尔文用一句句令人信服的话，表现了他追求真理，想以全新的生物进化思想推翻"神创论"和"物种不变"理论的决心。在书中，他有过着重的描写：生物胚胎间，人、鸡、猪、蛙、龟、鱼等的早期胚胎很相似，这表明它们十分可能有共同的祖先。还有地理的分布：在大体相似的气候，如南美洲、非洲、澳洲都位于南半球，具有热带和温带的气候，可是生物类型彼此差别很大，或者是说在有些地区，如非洲（或南美洲）内部各地气候条件很大，但那里的生物类型却彼此相似！而生物可分成门、纲、目、科、属、种六个层次，每个层次都种类繁多，各式各样，可每一层之间，都有着或多，或少的类似、相同点！

　通过这本书，我不仅了解到了与科学有关的有趣内容，还让我有了许许多多的联想呢！

　当我读过《物种起源》后，第一个在脑海里产生的联想，那便是——世间万物的“平衡”。所谓大自然的平衡，说白了，也就是：”物竞天择，适者生存。”在无奇不有的自然界里，什么都有自己的“平衡”！从进化论可看出很多物种的——1、生存的平衡。所谓生存平衡，顾名思义，也就是各种生物为了生存，或者说准确点，是为了适应周边的生存环境，而进行一代又一代，不断的进化、演变，繁衍后代，才使得大自然还能像现在这样：生生不息！最明显的例子，便非长颈鹿莫属了！长颈鹿是很古老的动物，他们在古代脖子没那么长的，因为远古的树长的很高，所以它们只能吃一些比较矮小的树的树叶，但那些矮小的树被他们吃完后，他们没办法吃比较高大的树的树叶，所以长颈鹿为了吃到高大的树的树叶而逐渐进化，所以成了现在这个样子。2、生态的平衡。这个平衡可以说是“何人不知，哪人不晓呢”

　记得四五年级曾学过一篇别有一番道理的课文——《鹿与狼》，相信大家一定都没忘吧！动物们与自己的天敌互相争斗，才是最原始而却最有效的解决生态平衡危机的最佳办法。自然还有，3、生命的平衡。宇宙生命从无到有，谁也不知道生命的诞生是如何到死亡的。但其实生命是永恒的，宇宙中的万物，都有诞生的一刻，但同时也有死亡的一刻，从合成恒星，到自然爆炸或意外毁灭的过程，都是平衡的，自然界对待生命永远一视同仁… …

　《物种起源》这本书为我们开启了科学那圣神的殿堂之门，它将无限的课外有趣知识、道理带给我，并告诉了我：科学——是永恒的追求！

《物种起源》读后感2

　以前，我站在海边的沙滩上，陷入了这样的深思：潮起潮落，无法计数的分子，各自孤独地运行着，相距遥远却又息息相关;骄阳弥散着能量，射向无垠的宇宙。

　大海掀动着波浪，在她深处，分子变幻重组，悄悄地萌生新的组合，它们将自身复制，愈变愈大，愈变愈复杂，DNA、蛋白质，她们的舞蹈愈加神奇……我常常想着这些奇妙的东西，若在从前，人们根本无法推测她们的“行踪”，而如今的科学，却能使我们向这“神奇”靠近，轻探她的鼻息……

　《物种起源》，是进化论奠基人达尔文的第一部巨著，更是一部科学的伟大篇章。它讲述了生物进化的过程与法则。全书能够分为三个部分：第一部分的资料是全书的主体及核心，标志着自然选取学说的建立。第二部分中作者设想站在反对者的立场上给进化学说提出了一系列质疑，再逐一解释，使之化解。这正表现出科学的学说本身不可战胜的生命力。在第三个大部分，达尔文用它的以自然选取为核心的进化论对生物界在地史演变，地理变迁，形态分异，胚胎发育中的各种现象进行了令人信服的解释，从而，使这一理论获得了进一步支撑。试问，有此发现与成就的原因是什么毫无疑问，是科学的力量!

　那不容低估的科学，是它改变了人们对世界的概念。由于科学的发展，这天，我们能够想象无穷奇妙的东西，比诗人和梦想者在想象中的丰富、离奇千万倍。比如吧，诗人想象巨大的海龟驮着大象到海里旅行;而科学给我们展现了一幅别样的画卷——天宇中一个巨大的蓝色星球正在旋转，它的表面，人们被神奇的引力牢牢抓住，并依附着它柔和地、永不停息地转动着……

　而科学有如一把双刃剑，它刀光骤起，许多人也因此殒命;它又犹似一把钥匙，既通往天堂，又延伸至地狱，它能使国家富强，推动整个历史潮流的发展;它又能使人们为了利益，不惜发动战争，让硝烟弥漫整个天宇。而这“钥匙”又确实有它的价值——没有它，我们无法开启天堂之门;没有它，我们即使明辨了天堂与地狱，也还是束手无策。这样推论下来，尽管科学知识可能被误用以导致灾难，它的这种产生巨大影响的潜质本身是一种价值。只是人们用错了它，因而，我们更要把握好这把钥匙，“钥匙”的确很轻很轻，但是它握在手中之后，就会变得很重很重……

　还有，巨大的潜在能量和无尽的宝藏是不会带着它的使用说明书的，因而人们需要靠自己的力量，步步摸索，投入科学的方法、科学的技术，才能真正翻开她的“使用说明”，揭开她神秘的面纱。

　激动、惊叹和神秘，在我们研究问题时一次又一次地出现。知识的进步总是带来

　更深、更美妙的神秘，吸引着我们去更深一层地探索。有时探索的结果令人失望，可这又有什么关联呢我们总是兴致勃勃而自信地深钻下去，发现无法想象的奇妙和随之而来的'更深、更美妙的神秘。这难道不是最激动人心的探索么!打个比方，先贤们缔造了民主的制度，正因我想没有一个人绝对懂得如何管理ZF，我们只有用这样一个制度来保证，新的想法能够产生、发展、被尝试运用，并在必要的时候被抛弃;更新的想法又能够如此地轮回运行。这是一种尝试――纠偏的系统方法。这种系统方法的建立，正是正因在18世纪末，科学已经成功地证明了它的可行性。质疑和讨论是探索未知科学的关键。如果我们想解决以前未能解决的问题，那我们就务必这样地运用科学，才能把通向未知的门开启。

　当然，人类还处在初始阶段，在人类鲁莽冲动的青年时期，常常会制造出巨大的错误而导致长久的停滞。但我们知道伟大的进展都源于承认先前的无知，都源于思想的自由。因此，我们遇上各种问题是毫不个性的。好在未来还有千千万万年，我们的职责是学所能学、为所可为，探索出更好的办法。我们就应放开被束缚的双手，宣扬一种科学的精神，一种自由的思想，告诉更多的人们，不好怕被质疑而扼杀自己最初的想法，而是就应毫不气馁地、毫不妥协地坚持自己思想的自由。这一切，都源于同一个信念：我们挚爱科学!

《物种起源》读后感3

　经常在文献中看到被引用的《物种起源》，时隔100多年的书或其中的观点为何有如此大的影响力？

　我满怀好奇心，通篇阅读了达尔文先生所著、苗德岁先生翻译的《物种起源》。该书的核心观点，如物种不是一成不变的、而是缓慢进化的早就被人们所熟知，但在19世纪中期大家都在争论生命是不是由神创造的年代显然是有化时代好处的，怪不得恩格斯说它是19世纪自然科学的三大发现之一了。

　以拥有现代科技水平头脑的人来看《物种起源》，你或许会发现它是类似于科普性质的著作，但书中罗列的事实和超多的生动的案例在我看来，即使对此刻的科技工作者依然是有启发的。

　达尔文坚信“自然界中无飞跃”，认为变异是缓慢的过程，不是突飞猛进的。他在书中花了超多篇幅来解释为什么变异是缓慢的，他同时也多次坦白人们对自然选取和一些自然现象的无知，如在书中他不厌其烦的说人们对于某些问题“极度无知”、“一无所知”和“知之甚少”，一个谦逊有礼的老学者形象跃然纸上。限于当时的科技水平，达尔文没有过多的纠缠在造成后代与亲代每一个细微差异的原因，但他认为透过自然选取积累的差异使得平衡发生哪怕毫厘之差，而这便会决定哪些个体将生存、哪些个体将死亡。此刻来看这样的阐述，即种间差异，是何等的正确啊！

　虽然达尔文没有深究某个细节，但基于超多的观察和试验他最终发现了物种的起源和进化的规律。而这些要归功于他的科学精神。如他坚信透过解剖学的手段来解释现象，在对马驹身体比例的分析上他是透过“仔细测量”得出相关结论的，他在论述杂交不育性时反复强调“未经试验，无人知晓”，他在疑惑什么使马灭绝的因素时对自己的惊异表示“无根无据”。我着实被这些体现达尔文严谨的科学精神的例子所震惊！这或许解释了为何18世纪的世界科学中心是英国！达尔文在对论点论证的同时，会举很多有说服力的小案例，这要得益于他的勤奋，我想他就应是一个随身携带笔和纸随时做记录的人。如他做了苏格兰冷杉幼苗更新的小试验论述生存斗争，他透过种子萌发的试验论述扩散的方法，类似的小试验或许令现代的研究生都感到汗颜。科学精神归科学精神，当我读到达尔文关于骡子和斑马的进化关联时，我丝毫不怀疑灵感在达尔文构成其学术观点中发挥的作用。

　达尔文在书中反复强调所有的生物都有高速增殖的倾向，即按照几何比率增加的速度，而恰恰由于生存斗争的存在才不至于使一个物种就占用了地球的全部资源。而这或许部分解释了为何自然界的许多生理生态现象均可用幂函数Y=aMb来解释。书中达尔文举了林奈关于植物增长的例子，做为一个增殖最小的边界，植物的更新速度也是惊人的。达尔文同时也坚信种内之间的斗争是最惨烈的，正因种内的个体有相同的资源需求。由于种内生存斗争和外界不利环境致使世界上每种生物均不能按照几何比率无限制的增长，这点难道不能用于解释人类社会的某些现象吗？如果没有战争、瘟疫和地质与气象灾害，人类估计会遍布地球上每个角落，若果真如此，人类这种毫无限制的增殖或许导致其自身的快速灭绝。从这点好处上来讲，战争、瘟疫和地质和气象灾难倒有好的一面了。

　达尔文对地质学和生物学的兴趣以及其显赫的家世促使他完成了近5年的环球科考，这样的经历是达尔文完成《物种起源》的基础。书中超多生动的案例几乎严谨地证明了他的论点，这种科学精神是值得称道的，如他在书中不停地论述试验和数据的重要性。限于当时的科学水平，书中没有生物化学方面的数据，也仅采取简单的数理统计分析，对一些“法则”和“规律”不能很好的解释，但书中解剖学、形态学和进化生物学的知识，个性是科学思维和逻辑依然对现代的科学研究有启发好处！

《物种起源》读后感4

　让我们从20xx年算起。倒退203年，上帝让这个动摇自己权威的孩子诞生了，不仅是如此，上帝同时还赠予了他一个富裕的家境和可以游手好闲的机会，他可以算得上是一位勤奋努力的富二代。达尔文能够轰轰轰轰烈烈的去远洋考察，很大部分的原因是他没有物质上的担忧。当然，也不是每一个人都能够被上帝如此眷顾。也正因为如此，有科学家一生清贫;也有人为了真理而死去;可达尔文却是幸运的。退153年，这么在当时还被认为是谬论的著作诞生了。尽管书中的结论在如今，已经是无人不知的常识了。可在那时，就像是往混沌的湖水上投了一块大石头，导致惊起了无数的波澜。

　当上帝与达尔文只有一个是正确答案，固然人们觉得达尔文的文章也有道理，人们还是倾向了那个千百年来给予安稳依靠的人然而科学探索就如同开荒扩路一样，如果我们渴望那远方土地的富饶，那就必须舍弃现有的安乐家园。探索意味着不可知的风险，意味着别人的质疑，也就需要承担更多不必要的责任——因为你选择了科学这条道路。本能的反应使人们满足于现状，安于现有的精神依靠。这也许就是科学的理论只有在时间的打磨下才能成为科学，真理的原因。对于不可知的事物，成大事者往往有一种不拘与随性，永恒不变的热爱是支持他们的唯一动力。至少我认为这些可贵的品质在达尔文的身上展露无疑。

　倒退115年西方列强的坚船利炮打开了中国的国门。甲午海战战败，严复将此著作连同战败的羞耻与彷徨走进了中国，也就是在我们以后将要学习的历史中的《天演论》。达尔文之所以在中国能有这样的名气，很大程度上在于严复对那名著的翻译作的推动。而严复翻译这一著作并非是完全没有目的的。还针对中国的现状来评论，表达他的想法。科学著作就这样在有目的的安排下成为了政治力气，思想里奇。这一举动有利也有弊，一旦它的翻译者刻意的扮演成一位再创造者，偏离或片面的放大则不可避免;但另一方面，这又确确实实是近代的中国所发出的一声震耳发聩的惊雷---相比人类的诞生到底是出自于上帝之手还是由单细胞生物演化而成的，但是的中国人可能更在意，重视自身的存亡与国家的兴衰。时代性是《物种起源》的又一烙印。是它所要承担的意料之外，却又在情理之中的历史使命，是我们对于它产生特殊感情的原因。

　有时科学之路多舛的就像一出精彩的戏剧---当全世界甚至上帝都站在它的对立面的时候;他发出了声响，在两百年后他得到了时间与世界的几乎全部认可后在大海之上又跃起了一个闪着真理之光的浪尖。在无限接近科学的过程中，人们的内心深处总会迸发出一种超越动物本能的喜悦。我们暂且可以说成这是上帝赐予我们最宝贵的精神财富。时至今日，我们生活在一个不缺少知识的时代。但也正是由于这种精神上的富有，在某段时间会深深的思考自己为何会如此“贫穷”，一种信息时代的贫穷;我们现在可以选择不去读原著，可以直接背下关于这本名著的所有精度概括的内容;可以读中没有“墨水”，鼠标点击复制粘贴直接完成长达五千字的文章。但这却是知识的泡沫，真理的无用复制。当我们只找到其中一个“上帝”就停下追寻的脚步，则毫无疑问的陷入了那个百年一轮回的怪圈。将前辈们好不容易织成的棉线，硬生生地制成了一件没有袖子，颜色乱七八糟的毛衣。那么，我们也可以不自量力的再当一次“严复”吗

　追寻真理的漫漫长途，历史车轮的滚滚而来，滚滚而去。优胜劣汰在知识的创造中同样适用，我们要当一个生存者，开括者，胜利者。科学如同自然一样永恒地存在着，他充斥着唯物主义的残酷。但谁又能说这不美，不令人可敬可爱

细胞与国家看起来是两个非常不同的系统，一个如此之小，另一个却又是如此之大。然而，你能想象用同一个方程就能描述这两个极小和极大的系统吗？ 这就是制约大量复杂系统的共同数学法则：异速生长律。我们都知道婴儿的身体从小长到大，他的一个部分器官（例如心脏）也会增长，但是心脏增长的速度与身体增长的速度并不一致，身体扩大了2倍，心脏可能才增长15倍，二者遵循着一个Y~X^a的幂律方程，这就是异速生长律。实证研究发现，小到细胞，大到大象，甚至非常不同的复杂系统，包括城市、国家甚至互联网上的虚拟社会都遵从这这同一个方程。

异速生长

异速生长allometry 根据相对生长表示不成比例的生长关系的用语。由赫克斯利（I．S．Huxley）等首先采用。异速生长往往也译成相对生长。赫克斯利和泰西埃（G．Teissier）提倡了y=bxα式。一般，y是部分（器官）的大小，x是其他部分或全体的大小，有的时候也表示长度和重量。b及d是常数，b为初级生长指数，a称为平衡常数。最初，赫克斯利用k表示平衡常数，泰西埃用k表示初级生长指数，后来则统一为上述符号。上式一般称为异速生长式，如果两边取对数，则成比生长率之比是一定的。反之，异速生长式亦可从这个假定导出。可是，例如在全体和部分异速生长的情况下，由于全体中包括那个部分．在异速生长式的应用上因而有种种的矛盾，也有人指出，因为一般是两边取对数来画图形，所以矛盾可被掩盖。因此认为异速生长式在许多情况下是近似的，若是在图形上出现直线的屈折和不连续点时，即可推测生长状况发生的变化，可以肯定，异速生长式足以给现象的记述和分析带来方便。甲壳纲十足类的螯和躯干的生长，鼠内脏重与全体重的关系等，是适用异速生长式的好例子。异速生长的关系，不只可以应用于个体的生长，更可扩展到不同个体间大小的比较，特别适用于进化的研究，因此，已把个体内的异速生长特称之为个体发育异速生长（ontogeneticallometry，heterauxesis），而把其他的称为异速生长（allomorphosis）来进行区别。

现状

目前，异速生长已成为城市和城市群发展中，空间结构及其演化过程的 重要规律，来表明一个局部（一个城市）与整体（城市群）之间的相对生长速度。　在经济地理学运用中，异速生长有两种基本类型：最大城市人口与城市群总人口的异速生长关系；城市人口和城区面积的异速生长关系。

后一种类型可参见学术论文：　刘继生 城市密度分布与异速生长定律的空间复杂性探讨 东北师大学报(自然科学版)，2004，4　刘继生 城市人口-城区面积异速生长模型的理论基础、推广形式及其实证分析 华中师范大学学报(自然科学版) ，2002，3　陈彦光 许秋红区域城市人口-面积异速生长关系的分形几何模型[J]信阳师范学院学报：自然科学版,1999,12(2):182-187　Allometry：　英文解释：study of the relative growth of a part of an organism in relation to the growth of the whole。