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1静力学

静力学是力学的一个分支，它主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，以及如何建

立各种力系的平衡条件。

平衡是物体机械运动的特殊形式，严格地说，物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速

直线运动的状态，即加速度为零的状态都称为平衡。对于一般工程问题，平衡状态是以

地球为参照系确定的。静力学还研究力系的简化和物体受力分析的基本方法。

静力学的发展简史

从现存的古代建筑，可以推测当时的建筑者已使用了某些由经验得来的力学知识，并且

为了举高和搬运重物，已经能运用一些简单机械(例如杠杆、滑轮和斜面等)。

静力学是从公元前三世纪开始发展，到公元16世纪伽利略奠定动力学基础为止。这期间

经历了西欧奴隶社会后期，封建时期和文艺复兴初期。因农业、建筑业的要求，以及同

贸易发展有关的精密衡量的需要，推动了力学的发展。人们在使用简单的工具和机械的

基础上，逐渐总结出力学的概念和公理。例如，从滑轮和杠杆得出力矩的概念；从斜面

得出力的平行四边形法则等。

阿基米德是使静力学成为一门真正科学的奠基者。在他的关于平面图形的平衡和重心的

著作中，创立了杠杆理论，并且奠定了静力学的主要原理。阿基米德得出的杠杆平衡条

件是：若杠杆两臂的长度同其上的物体的重量成反比，则此二物体必处于平衡状态。阿

基米德是第一个使用严密推理来求出平行四边形、三角形和梯形物体的重心位置的人，

他还应用近似法，求出了抛物线段的重心。

著名的意大利艺术家、物理学家和工程师达·芬奇是文艺复兴时期首先跳出中世纪烦琐

科学人们中的一个，他认为实验和运用数学解决力学问题有巨大意义。他应用力矩法解

释了滑轮的工作原理；应用虚位移原理的概念来分析起重机构中的滑轮和杠杆系统；在

他的一份草稿中，他还分析了铅垂力奇力的分解；研究了物体的斜面运动和滑动摩擦阻

力，首先得出了滑动摩擦阻力同物体的摩擦接触面的大小无关的结论。

对物体在斜面上的力学问题的研究，最有功绩的是斯蒂文，他得出并论证了力的平行四

边形法则。静力学一直到伐里农提出了著名的伐里农定理后才完备起来。他和潘索多边

形原理是图解静力学的基础。

分析力学的概念是拉格朗日提出来的，他在大型著作《分析力学》中，根据虚位移原理

，用严格的分析方法叙述了整个力学理论。虚位移原理早在1717年已由伯努利指出，而

应用这个原理解决力学问题的方法的进一步发展和对它的数学研究却是拉格朗日的功绩

。

静力学的内容

静力学的基本物理量有三个：力、力偶、力矩。

力的概念是静力学的基本概念之一。经验证明，力对已知物体的作用效果决定于：力的

大小(即力的强度)；力的方向；力的作用点。通常称它们为力的三要素。力的三要素可

以用一个有向的线段即矢量表示。

凡大小相等方向相反且作用线不在一直线上的两个力称为力偶，它是一个自由矢量，其

大小为力乘以二力作用线间的距离，即力臂，方向由右手螺旋定则确定并垂直于二力所

构成的平面。

力作用于物体的效应分为外效应和内效应。外效应是指力使整个物体对外界参照系的运

动变化；内效应是指力使物体内各部分相互之间的变化。对刚体则不必考虑内效应。静

力学只研究最简单的运动状态即平衡。如果两个力系分别作用于刚体时所产生的外效应

相同，则称这两个力系是等效力系。若一力同另一力系等效，则这个力称为这一力系的

合力。

静力学的全部内容是以几条公理为基础推理出来的。这些公理是人类在长期的生产实践

中积累起来的关于力的知识的总结，它反映了作用在刚体上的力的最简单最基本的属性

，这些公理的正确性是可以通过实验来验证的，但不能用更基本的原理来证明。

静力学的研究方法有两种：一种是几何的方法，称为几何静力学或称初等静力学；另一

种是分析方法，称为分析静力学。

几何静力学可以用解析法，即通过平衡条件式用代数的方法求解未知约束反作用力；也

可以用图解法，即以力的多边形原理和伐里农--潘索提出的索多边形原理为基础，用

几何作图的方法来研究静力学问题。分析静力学是拉格朗日提出来的，它以虚位移原理

为基础，以分析的方法为主要研究手段。他建立了任意力学系统平衡的一般准则，因此

，分析静力学的方法是一种更为普遍的方法。

静力学在工程技术中有着广泛的应用。例如对房屋、桥梁的受力分析，有效载荷的分析

计算等。

2理想力学

理性力学是力学中的一门横断的基础学科，它用数学的基本概念和严格的逻辑推理，研

究力学中带共性的问题。理性力学一方面用统一的观点，对各传统力学分支进行系统和

综合的探讨，另一方面还要建立和发展新的模型、理论，以及解决问题的解析方法和数

值方法。

理性力学的研究特点是强调概念的确切性和数学证明的严格性，并力图用公理体系来演

绎力学理论。1945年后，理性力学转向以研究连续介质为主，并发展成为连续统物理学

的理论基础。

理性力学的发展简史

奠基时期 牛顿的《自然哲学的数学原理》一书可看作是理性力学的第一部著作。从牛顿

三定律出发可演绎出力学运动的全部主要性质。另一位理性力学先驱是瑞士的雅各布第

一·伯努利，他最早从事变形体力学的研究，推导出沿长度受任意载荷的弦的平衡方程

。通过实验，他发现弦的伸长和张力并不满足线性的胡克定律，并且认为线性关系不能

作为物性的普遍规律。

法国科学家达朗贝尔于1743年提出：理性力学首先必须象几何学那样建立在显然正确的

公理上；其次，力学的结论都应有数学证明。这便是理性力学的框架。

1788年法国科学家拉格朗日创立了分析力学，其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；其

后经过相当长的时间，变形体力学的一些基本概念，如应力、应变等逐渐建立起来；18

22年法国柯西提出的接触力可用应力矢量表达的"应力原理"，一直是连续介质力学的

最基本的假定；1894年芬格建立了超弹性体的有限变形理论；关于有向连续介质的猜想

是佛克脱和迪昂提出的，其理论则是由法国科学家科瑟拉兄弟在1909年建立的。

1900年，著名德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学大会上，提出的23个问题中的第6个问

题就是关于物理学(特别是力学)的公理化问题。1908年以来，哈茂耳重提此事，但当时

只限于一般力学的范围。

停滞时期 约从20世纪初到1945年。这段时期形成了以从事线性力学及其相关数学的研究

为主的局面。线性理论充分发挥了它解释力学现象和解决工程技术问题的能力，并使与

之相关的数学也发展到相当完善的地步。相形之下，非线性理论的研究没有多大进展，

理性力学也因此处于停滞时期。

复兴时期 从1945年起，理性力学开始复兴。复兴不是简单的重复，而是达朗贝尔框架在

连续介质力学方面的进一步发展。这种变化是由1945年赖纳和1940年里夫林的工作引起

的。

赖纳的工作是研究非线性粘性流体，过去长期不得解决的所谓油漆搅拌器效率不高的问

题，因为有了这个非线性粘性流体理论而真相大白。里夫林的工作是在任意形式的贮能

函数下，对于等体积变形的不可压缩弹性体，给出了几个简单而又重要问题的精确解，

用这个理论解释橡胶制品的特性取得惊人的成功。另外，过去得不到解决的"柱体扭转

时为什么会伸长"的问题也自然获得解决。这两个工作揭开了理性力学复兴的序幕。

奥尔德罗伊德1950年提出本构关系必须具有确定的不变性，这个思想后来就发展成为客

观性原理。1953年，特鲁斯德尔提出低弹性体的概念。同年，埃里克森发表了各向同性

不可压缩弹性物质中波的传播理论。

1956年以来，图平关于弹性电介质的系统研究，为电磁连续介质理论的发展打下了基础

；1957年托马期关于奇异面的研究是另一重大进展；1957年诺尔首先提出纯力学物质理

论的公理化问题。次年，他发表了连续介质的力学行为的数学理论，这便是简单物质的

公理体系的雏型，后来逐渐发展成为简单物质谱系。

1958年埃里克森和特鲁斯德尔提出的杆和壳中应力和应变的准确理论，德国学者金特尔

关于科瑟拉连续统的静力学和运动学的论文，引起了对有向物体理论的重新认识和系统

研究。1969年科勒曼和诺尔建立了连续介质热力学的一般理论。

1960年特鲁斯德尔和图平所著《古典场论》，以及1966年特鲁斯德尔和诺尔所著《力学

的线性场论》两书，概括了以前有关理性力学的全部主要成果，是理性力学的两部经典

著作。这两部书的出版标志着理性力学复兴时期的结束。

发展时期 1966年以来，理性力学进入发展时期。它的发展是和当代科学技术发展的总趋

势相呼应的。这个时期的特点是理性力学本身不断向深度和广度发展，同时又与其他学

科相互渗透，相互促进。

理性力学的发展主要涉及五个方面：公理体系和数学演绎；非线性理论问题及其解析和

数值解法；解的存在性和唯一性问题；古典连续介质理论的推广和扩充；以及与其他学

科的结合。

理性力学的研究内容

连续介质力学是研究连续介质的宏观力学行为。连续介质力学用统一的观点来研究固体

和流体的力学问题，因此也有人把连续介质力学狭义地理解为理性力学。

纯力学物质理论主要研究非极性物质的纯力学现象。诺尔提出的纯力学物质理论的公理

体系由原始元、基本定律和本构关系三部分组成。1960年科勒曼和诺尔提出减退记忆原

理。在这个公理体系下，并给出各类物质的谱系是纯力学物质理论的中心课题。纯力学

物质研究得比较充分，尤其是简单物质理论已形成相当完整的体系，这是理性力学中最

成功的一部分。

热力物质理论是用统一的观点和方法，研究连续介质中的力学和热学的耦合作用，1966

年以来逐渐形成热力物质理论的公理体系。这个公理体系也是由原始元、基本定律和本

构关系三部分组成，但其内容比纯力学物质理论更为广泛。到目前为止还没有一个公认

的、完整的热力物质理论，它正在各派学者的争论中发展并不断完善。

电磁连续介质理论是按连续统的观点研究电磁场与连续介质的相互作用。由于现代科学

技术发展的客观需要，电磁连续介质理论的研究越来越受到重视，已成为现代连续介质

力学的重要发展方向之一。

混合物理论是研究由两种以上，包括固体和流体形式物质组成的混合物的有关物理现象

。混合物理论可以用来研究扩散现象、多孔介质、化学反应介质等问题。

连续介质波动理论是研究波在连续介质中传播的一般理论和计算方法。连续介质波动理

论把任何以有限速度通过连续介质传播的扰动都看做是"波"，所以研究的内容是相当

广泛的。在连续介质波动理论中，奇异面理论占有十分重要的地位，但到目前为止，研

究尚少。

广义连续介质力学是从有向物质点连续介质理论发展起来的连续介质力学。广义连续介

质力学包括极性连续介质力学、非局部连续介质力学和非局部极性连续介质力学。极性

连续介质力学主要研究微态固体和微态流体，特别是微极弹性固体和微极流体。非局部

连续介质力学则主要研究非局部弹性固体和非局部流体。由于非局部极性连续介质力学

是极性连续力学和非局部连续介质力学的结合，所以它的主要研究对象是非局部微极弹

性固体和非局部微极流体。20世纪70年代以来，广义连续介质力学内容在不断扩充，并

已发展成为广义连续统场论。

非协调连续统理论是研究不满足协调方程的连续统的理论。古典理论要求满足协调方程

，但在有位错或内应力存在的物体中，协调方程不再满足，这时对连续位错理论必须引

入非协调的概念。这种非协调理论宜用微分几何方法来描述。最近又开展了连续旋错理

论的研究，把非协调理论和有向物体理论统一起来是一个研究课题，但还未得到完整的

结果。

相对论性连续介质理论是从相对论观点出发研究连续介质的运动学、动力学、热动力学

和电动力学等问题。

除上述的分支和理论外，理性力学还研究非线性连续介质理论的解析或数值方法以及同

其他学科相交叉的问题。

理性力学来源于传统的分析力学、固体力学、流体力学、热力学和连续介质力学等力学

分支，并同这些力学分支结合，出现了理性弹性力学、理性热力学、性连续介质力学等

理性力学的新兴分支。理性力学就是这样从特殊到-般，再从一般到特殊地发展着。理

性力学除了同传统的各力学分支互相捉进外，还同数学、物理学以及其他学科密切相关

。

3天体力学

天体力学是天文学和力学之间的交叉学科，是天文学中较早形成的一个分支学科，它主

要应用力学规律来研究天体的运动和形状。

天体力学以往所涉及的天体主要是太阳系内的天体，20世纪50年代以后也开始研究人造

天体和一些成员不多(几个到几百个)的恒星系统。天体的力学运动是指天体质量中心在

空间轨道的移动和绕质量中心的转动(自转)。对日月和行星则是要确定它们的轨道，编

制星历表，计算质量并根据它们的自传确定天体的形状等等。

天体力学以数学为主要研究手段，至于天体的形状，主要是根据流体或弹性体在内部引

力和自转离心力作用下的平衡形状及其变化规律进行研究。天体内部和天体相互之间的

万有引力是决定天体运动和形状的主要因素，天体力学目前仍以万有引力定律为基础。

虽然已发现万有引力定律与某些观测事实有矛盾(如水星近日点进动问题)，而用爱因斯

坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释，但对天体力学的绝大多数课题来说，

相对论效应并不明显。因此，在天体力学中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对

论和其他引力理论。

天体力学的发展历史

远在公元前一、二千年，中国和其他文明古国就开始用太阳、月亮和大行星等天体的视

运动来确定年、月和季节，为农业服务。随着观测精度的不断提高，观测资料的不断积

累，人们开始研究这些天体的真运动，从而预报它们未来的位置和天象，更好地为农业

、航海事业等服务。

历史上出现过各种太阳、月球和大行星运动的假说，但直到1543年哥白尼提出日心体系

后，才有反映太阳系的真运动的模型。

开普勒根据第谷多年的行星观测资料，于1609～1619年间，提出了著名的行星运动三大

定律，深刻地描述了行星运动，至今仍有重要作用。开普勒还提出著名的开普勒方程，

对行星轨道要素下了定义。由此人们就可以预报行星(以及月球)更准确的位置，从而形

成了理论天文学，这是天体力学的前身。

到这时，人们对天体(指太阳、月球和大行星)的真运动还仅处于描述阶段，还未能深究

行星运动的力学原因。

早在中世纪末期，达·芬奇就提出了不少力学概念，人们开始认识到力的作用。伽利略

在力学方面作出了巨大的贡献，使动力学初具雏形，为牛顿三定律的发现奠定了基础。

牛顿根据前人在力学、数学和天文学方面的成就，以及他自己二十多年的反复研究，在

1687年出版的《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律。他在书中还提出了著名

的牛顿三大运动定律，把人们带进了动力学范畴。对天体的运动和形状的研究从此进入

新的历史阶段，天体力学正式诞生。虽然牛顿未提出这个名称，仍用理论天文学表示这

个领域，但牛顿实际上是天体力学的创始人。

天体力学诞生以来的近三百年历史中，按研究对象和基本研究方法的发展过程，大致可

划分为三个时期：

奠基时期 自天体力学创立到十九世纪后期，是天体力学的奠基过程。天体力学在这个过

程中逐步形成了自己的学科体系，称为经典天体力学。它的研究对象主要是大行星和月

球，研究方法主要是经典分析方法，也就是摄动理论。牛顿和莱布尼茨既是天体力学的

奠基者，同时也是近代数学和力学的奠基者，他们共同创立的微积分学，成为天体力学

的数学基础。

十八世纪，由于航海事业的发展，需要更精确的月球和亮行星的位置表，于是数学家们

致力于天体运动的研究，从而创立了分析力学，这就是天体力学的力学基础。这方面的

主要奠基者有欧拉、达朗贝尔和拉格朗日等。其中，欧拉是第一个较完整的月球运动理

论的创立者，拉格朗日是大行星运动理论的创始人。后来由拉普拉斯集其大成，他的五

卷十六册巨著《天体力学》成为经典天体力学的代表作。他在1799年出版的第一卷中，

首先提出了天体力学的学科名称，并描述了这个学科的研究领域。

在这部著作中，拉普拉斯对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论，而且对周期彗

星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。同时，他还对天体形状的理论基础--流体

自转时的平衡形状理论作了详细论述。

后来，勒让德、泊松、雅可比和汉密尔顿等人又进一步发展了有关的理论。1846年，根

据勒威耶和亚当斯的计算，发现了海王星，这是经典天体力学的伟大成果，也是自然科

学理论预见性的重要验证。此后，大行星和月球运动理论益臻完善，成为编算天文年历

中各天体历表的根据。

发展时期 自十九世纪后期到二十世纪五十年代，是天体力学的发展时期。在研究对象方

面，增加了太阳系内大量的小天体(小行星、彗星和卫星等)；在研究方法方面，除了继

续改进分析方法外，增加了定性方法和数值方法，但它们只作为分析方法的补充。这段

时期可以称为近代天体力学时期。彭加莱在1892～1899年出版的三卷本《天体力学的新

方法》是这个时期的代表作。

虽然早在1801年就发现了第一号小行星(谷神星)，填补了火星和木星轨道之间的空隙。

但小行星的大量发现，是在十九世纪后半叶照相方法被广泛应用到天文观测以后的事情

。与此同时，彗星和卫星也被大量发现。这些小天体的轨道偏心率和倾角都较大，用行

星或月球的运动理论不能得到较好结果。天体力学家们探索了一些不同于经典天体力学

的方法，其中德洛内、希尔和汉森等人的分析方法，对以后的发展影响较大。

定性方法是由彭加莱和李亚普诺夫创立的，他们同时还建立了微分方程定性理论。但到

二十世纪五十年代为止，这方面进展不快。

数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法，

至今仍为天体力学的基本数值方法，但在电子计算机出现以前，应用不广。

新时期 二十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体力

学进入一个新时期。研究对象又增加了各种类型的人造天体，以及成员不多的恒星系统

。

在研究方法中，数值方法有迅速的发展，不仅用于解决实际问题，而且还同定性方法和

分析方法结合起来，进行各种理论问题的研究。定性方法和分析方法也有相应发展，以

适应观测精度日益提高的要求。

天体力学的研究内容

当前天体力学可分为六个次级学科：

摄动理论 这是经典天体力学的主要内容，它是用分析方法研究各类天体的受摄运动，求

出它们的坐标或轨道要素的近似摄动值。

近年，由于无线电、激光等新观测技术的应用，观测精度日益提高，观测资料数量陡增

。因此，原有各类天体的运动理论急需更新。其课题有两类：一类是具体天体的摄动理

论，如月球的运动理论、大行星的运动理论等；另一类是共同性的问题，即各类天体的

摄动理论都要解决的关键性问题或共同性的研究方法，如摄动函数的展开问题、中间轨

道和变换理论等。

数值方法 这是研究天体力学中运动方程的数值解法。主要课题是研究和改进现有的各种

计算方法，研究误差的积累和传播，方法的收敛性、稳定性和计算的程序系统等。近年

来，电子计算技术的迅速发展为数值方法开辟了广阔的前景。六十年代末期出现的机器

推导公式，是数值方法和分析方法的结合，现已被广泛使用。

以上两个次级学科都属于定量方法，由于存在展开式收敛性以及误差累计的问题，现有

各种方法还只能用来研究天体在短时间内的运动状况。

定性理论也叫作定性方法。它并不具体求出天体的轨道，而是探讨这些轨道应有的性质

，这对那些用定量方法还不能解决的天体运动和形状问题尤为重要。其中课题大致可分

为三类：一类是研究天体的特殊轨道的存在性和稳定性，如周期解理论、卡姆理论等；

一类是研究运动方程奇点附近的运动特性，如碰撞问题、俘获理论等；另一类是研究运

动的全局图像，如运动区域、太阳系稳定性问题等。近年来，在定性理论中应用拓扑学

较多，有些文献中把它叫作拓扑方法。

天文动力学又叫作星际航行动力学。这是天体力学和星际航行学之间的边缘学科，研究

星际航行中的动力学问题。在天体力学中的课题主要是人造地球卫星，月球火箭以及各

种行星际探测器的运动理论等。

历史天文学是利用摄动理论和数值方法建立各种天体历表，研究天文常数系统以及计算

各种天象。

天体形状和自转理论是牛顿开创的次级学科，主要研究各种物态的天体在自转时的平衡

形状、稳定性以及自转轴的变化规律。近年来，利用空间探测技术得到了地球、月球和

几个大行星的形状以及引力场方面大量数据，为进一步建立这些天体的形状和自转理论

提供了丰富资料。

天体力学的发展同数学、力学、地学、星际航行学，以及天文学的其他分支学科都有相

互联系。如天体力学定性理论与拓扑学、微分方程定性理论紧密联系；多体问题也是一

般力学问题；天文动力学也是星际航行学的分支；引力理论、小恒星系的运动等是与天

体物理学的共同问题；动力演化是与天体演化学的共同问题，以及地球自转理论是与天

体测量学的共同问题等等。

4经典力学的建立

近二百年中，欧洲资本主义生产方式陆续取代了封建的生产方式。商业和航海的

迅速发展，需要科学技术。17世纪中叶，欧洲各国纷纷成立科学院，创办科学期刊。

航海需要观测，天文观测和对天体运动规律的研究受到重视。从力学学科本身说，天

体受力和运动比地上物体的受力和运动单纯。因此，力学中的规律往往首先在天体运

行研究中被发现。

动力学

伽利略对动力学的主要贡献是他的惯性原理和加速度实验。他研究了地面

上自由落体、斜面运动、抛射体等运动, 建立了加速度概念并发现了匀加速运动的规

律。C惠更斯在动力学研究中提出向心力、离心力、转动惯量、复摆的摆动中心等重

要概念。I牛顿继承和发展了这些成，提出物体运动规律和万有引力定律。运动三定

律是:

第一定律: 任何一个物体将保持它的静止状态或作匀速直线运动，除非有施加

于它的力迫使它改变此状态。

第二定律: 物体运动量的改变与施加于的力成正比，并发生于该力的作用线方

向上。

第三定律: 对于任何一个作用必有一个大小相等而方向相反的反作用。

欧拉是继牛顿以后对力学贡献最多的学者除了对刚体运动列出运动方程和动力

学方程并求得一些解外,他对弹性稳定性作了开创性的研究,并开辟了流体力学的理论

分析,奠定了理想流体力学的基础,在这一时期经典力学的创建和下一时期弹性力学、

流体力学成长为独立分支之间,他起到了承上启下的作用

静力学和运动学

静力学和运动学可以看作是动力学的组成部分,但又具有独立的性

质它们是在动力学之前产生的,又可以看作是动力学产生的前提。斯蒂文从“永久运

动不可能”公设出发论证力的平行四边形法则，他还在前人用运动学的观点解释平衡

条件的基础上，得到虚位移原理的初步形式。为拉格朗日的分析力学提供依据。力系

的简化和平衡的系统理论，即静力学的体系的建立则是L潘索在《静力学原理》一书

中完成的。在运动学方面,伽利略提出加速度以后，惠更斯考虑点在曲线运动中的加

速度。刚体运动学的研究成果则属于欧拉、潘索。物理学家A-M安培提出“运动学”

一词，并建议把运动学作为力学的独立部分。至此，力学明确分为静力学、运动学、

动力学三部分。

固体和流体的物性

在建立运动和平衡基本定律的同时，有关物质力学性能的基本定

律也在实验的基础上建立起来。R胡克1660年在实验室中发现弹性体的力和变形之间

存在着正比关系。在流体方面，B帕斯卡指出不可压缩静止流体各向压力(压强)相同

。牛顿在《自然哲学的数学原理》中指出流体阻力与速度差成正比，这是粘性流体剪

应力与剪应变之间正比关系的最初形式1636年M梅森测量了声音的速度。R玻意耳

于1662年和E马略特于1676年各自独立地建立气体压力和容积关系的定律。上述对物

性的了解对后来弹性力学、粘性流体力学、气体力系等学科的出现作了准备。

应用力学

许多学者的研究工作是和工匠一起进行的。惠更斯和一些钟表匠一起制

造钟表。玻意耳和工匠帕潘一起研制水压机。A帕伦不仅研究梁的弯曲问题，也研究

水轮机的效率问题。许多有工程实际意义的方法产生了，如兰哈尔的半圆拱的计算方

法，静力学中伐里农的索多边形方法。

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