如何求函数的最大值和最小值

一求函数最值常用的方法

最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点,它涉及到高中数学知识的各个方面,解决这类问题往往需要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,而教材中没有作出系统的叙述因此,在数学总复习中,通过对例题,习题的分析,归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程

常见的求最值方法有:

1配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值

2判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验

3利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,再求最值

4利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立

5换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值

还有三角换元法,参数换元法

6数形结合法 形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值

求利用直线的斜率公式求形如的最值

7利用导数求函数最值

求函数的最大值与最小值的方法：

f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。

一般而言，可以把函数化简，化简成为：

f(x)=k(ax+b)²+c 的形式，在x的定义域内取值。

当k>0时，k(ax+b)²≥0，f(x)有极小值c。

当k<0时，k(ax+b)²≤0，f(x)有最大值c。

关于对函数最大值和最小值定义的理解：

这个函数的定义域是I

这个函数的值域是不超过M的所有实数的（集合）

而恰好（至少有）某个数x0，

这个数x0的函数值f(x0)=M，

也就是恰好达到了值域（区间）的右边界。

同时,再没有其它的任何数的函数值超过这个区间的右边界。

所以,我们就把这个M称为函数的最大值。

扩展资料：

常见的求函数最值方法有：

1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程由于, 0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值。

4、利用均值不等式, 形如的函数, 及, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立。

5、换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值。

-函数最值

在excel中,将光标定位在需要输出答案的单元格中。

单击“插入”菜单,然后选择“插入函数”。

在d出的窗口中,“或选择类别”中选择“全部”,在“选择函数”下面选择MAX。

单击“确定”。这时会d出另外一个窗口。在新d出的窗口中的number1中选择数据区域,本例中,选择所有数值。单击确定。

返回一组值中的最大值。

语法

MAX(number1,number2,)

Number1, number2, 是要从中找出最大值的 1 到 30 个数字参数。

说明

可以将参数指定为数字、空白单元格、逻辑值或数字的文本表达式。

如果参数为错误值或不能转换成数字的文本，将产生错误。

如果参数为数组或引用，则只有数组或引用中的数字将被计算。

数组或引用中的空白单元格、逻辑值或文本将被忽略。如果逻辑值和文本不能忽略，请使用函数 MAXA 来代替。

如果参数不包含数字，函数 MAX 返回 0（零）。

而且，经常遇到要求最大值，如何使用MAX函数求最大值，具体的方法如下：

先了解下MAX的全称，就是最大的意思，英文前3个字母MAX。

在单元格内输入一定量的数据或者找到求最大值的数值区域。

在空白的单元格内输入公式=MAX(区域范围)，本例中区域范围为：B2：E8

然后点击其余的单元格或者按下ENTER键，输入公式的单元格内就显示了最大值。

在输入MAX点击下面显示的MAX时可以得到帮助对话框，详细的解释MAX函数的用法。

输入E2：E8的时候可以直接选中区域，先左键选中第一个单元格，一直按住左键再最后一个单元格，最后选定的区域在括号内显示，再加另外一个括号。

另外，输入MAX函数时可以直接点击编辑栏的FX按钮，直接d出对话框，在对话框内常用函数选MAX函数，在空白输入框内后面的方框，在框内选择数据即可。最后点击确定。

单元格内显示了最大值。

常见的求最值方法有:

1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值

2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验

3、利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值

4、利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立

5、换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值 还有三角换元法, 参数换元法

6、数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值 求利用直线的斜率公式求形如的最值

7、利用导数求函数最值2首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x),偶函数；若f(x)=-f(-x),奇函数。

如：函数f(x)=x^3,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x),所以f(x)=x^3是奇函数又如：函数f(x)=x^2,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),所以f(x)=x^3是偶函数

扩展资料：

一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

最小值

设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。

最大值

设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。 

一次函数

一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

所以，无论是正比例函数，即：y=ax（a≠0） 。还是普通的一次函数，即：y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即z<或≤x<≤m（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系

当a<0时

当a<0时，则y随x的增大而减小，即y与x成反比。则当x取值为最大时，y最小，当x最小时，y最大。例：

2≤x≤3 则当x=3时，y最小，x=2时，y最大

当a>0时

当a>0时，则y随x的增大而增大，即y与x成正比。则当x取值为最大时，y最大，当x最小时，y最小。例：

2≤x≤3 则当x=3时，y最大，x=2时，y最小 [3] 

二次函数

一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），

但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别如同函数不等于函数关系。

而二次函数的最值，也和一次函数一样，与a扯上了关系。

当a<0时，则图像开口于y=2x&sup2; y=&frac12;x&sup2;一样，则此时y 有最大值，且y只有最大值（联系图像和二次函数即可得出结论）

此时y值等于顶点坐标的y值

当a>0时，则图像开口于y=-2x&sup2; y=-&frac12;x&sup2;一样，则此时y 有最小值，且y只有最小值（联系图像和二次函数即可得出结论）

此时y值等于顶点坐标的y值

参考资料：

最大值函数：=MAX（起始单元格：结束单元格），最小值函数：=MIN（起始单元格：结束单元格）。（函数名MAX、MIN要大写）。

一、最大值函数MAX，

1、在编辑栏先输入=，每一个函数都要先输入=，接着输入函数MAX(要大写)，在函数中输入范围如下图：

2、按下回车确认，最大值如下：

二、最小值函数MIN，

1、最小值和最大值类似，同样在编辑栏先输入=，接着输入函数MIN(要大写)，在函数中输入范围如下图：

2、按下回车确认，最小值如下：

常见的求最值方法有:

1配方法:

形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值

2判别式法:

形如的分式函数,

将其化成系数含有y的关于x的二次方程由于,

0,

求出y的最值,

此种方法易产生增根,

因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验

3利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,

再求最值

4利用均值不等式,

形如的函数,

及,

注意正,定,等的应用条件,

即:

a,

b均为正数,

是定值,

a=b的等号是否成立

5换元法:

形如的函数,

令,反解出x,

代入上式,

得出关于t的函数,

注意t的定义域范围,

再求关于t的函数的最值

还有三角换元法,

参数换元法

6数形结合法

形如将式子左边看成一个函数,

右边看成一个函数,

在同一坐标系作出它们的图象,

观察其位置关系,

利用解析几何知识求最值

求利用直线的斜率公式求形如的最值

7利用导数求函数最值