幂函数,a为根式时图像规律

复杂,一言难尽

a=n/m,m,n是正整数,m>1,（m,n)=1,

因为x^a=x^(n/m)=（m)√（x^n),(这是关键,先n次乘方,再开m次方m为偶表示算术根）

a的分子n的奇偶影响x^a的奇偶性,如x^(2/3),x^(4/3)偶函数,图象关于y轴对称

a分母的m的奇偶影响x^a的定义域,图象的横向分布范围m为偶,x^a为偶次根式,定义域x≥0；m为奇,定义域R

a=-n/m,m,n是正整数,m>1,（m,n)=1,

因为x^a=x^(-n/m)=1/（m)√（x^n),(这是关键,先n次乘方,再开m次方m为偶表示算术根最后取倒数）

与上述情况类似两点不同定义域绝对不包括原点,即x≠0,单调性,即图象上升与下降,与上述情况相反

幂函数的图象：

①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数　　

②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数

③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)

④当0<a<1时，函数是增函数

⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数

⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

如果 ，且  为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则 ，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则  ，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数。

指数型与幂函数结合的采用分部积分法，对数函数与幂函数结合的，反三角函数与幂函数结合的这三种是比较典型的用分部积分法算的。

对于由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部分进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀为反对幂三指。

分部积分法的特点：

由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。