什么是反函数?详细说说

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数x= g(y)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1  (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

 

反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0}）(cosX的反函数不就是arccosX么，他们的图像都能画出来啊，编者给错了吧？）)。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。例：y=2x-1的反函数是y=05x+05y=2^x的反函数是y=log2 x例题：求函数y=3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。由y=3x-2，解得x=(y+2)/3将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是y=(x+2)/3（x属于R）（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f’（y）≠0，那么它的反函数y=f’（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。（12）y=x的反函数是它本身。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。

例题：求函数3x-2的反函数

y=3x-2的定义域为R,值域为R

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2) 

将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

y=1/3(x+2)

扩展资料：

反函数的性质

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I}内也可导；

（10）y=x的反函数是它本身。

反函数就是一种概念啊，也是函数，表达式当然是显示表示和隐式表示了。

　　显示表示就是求出反函数并表示出来；隐式表示直接x，y对换位置就可以了。

　　反函数定义：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x、

y

的关系，用x表示y，得到x=

g(y)。若对于y在C中的任何一个值，通过x=

g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=

g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数x=

g(y)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f

-1

(x)

。反函数y=f

-1

(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

一般地，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，根据这个函数中x,y

的关系，用y把x表示出，得到x=

g(y)

若对于y在c中的任何一个值，通过x=

g(y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么，x=

g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=

g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^(-1)

(x)

反函数y=f^(-1)

(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域

比如y=a^x，它的反函数就是y=loga(x)

1、反函数释义：对于表示y依x而变的已知函数y=f（x）来说，表示x依y而变的函数x=g（y）就叫做它的反函数。如是y=x3的反函数。

2、函数与原函数的复合函数等于x，即：习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成 。

一般地，如果确定函数y=f(x)的对应f是从函数的定义域到值域上的一一对应，那么由f的“逆”对应f-1所确定的函数就叫做函数的反函数，反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域。

举个例子吧：

原式：y=(2x-3)/(5x+1)

x属于R

且x≠-1/5

解：

y(5x+1)=2x-3

5xy+y=2x-3

x(5y-2)=-y-3

x=-(y+3)/(5y-2)

交换x与y得到原函数的反函数：

y=-(x+3)/(5x-2)

(x≠2/5)

反函数的一般解法：

1、从原来的函数方程中解出x,即用y来表示x

2、将所有的x换成y,将所有的y换成x

就得到了反函数

中学的反应函数的性质主要有：（一般为显函数）

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

大学分有显函数和隐函数，

显函数的反函数具有上述一切性质。

隐函数性质：

（1）一切隐函数具有反函数；

（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（3）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。