8个常用泰勒公式展开是什么？

8个常用泰勒公式，如下图所示：

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

相关信息：

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

泰勒展开式定义为若函数f(x) 在包含x0的某个开区间（a,b）上具有（n+1)阶的导数，那么对于任一x∈（a,b），有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!(x-x0)+f''(x0)/2!((x-x0))^2+f(n)(x0)/n!(x-x0)^n+Rn(x），其中，Rn(x）＝f(n+1)(ξ）/(n+1)!(x-x0)^(n+1)，此处的ξ 为x0 与x 之间的某个值。

简介

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

常见的泰勒展开式如下：

泰勒公式展开式：一个函数N阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!++f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数，0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。

泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题。比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限，f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。

那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2用导数定义去理解，f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\u003ex0。那么就有当x-\u003ex0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小。

两个近似数x1与x2，其误差限分别为ε（x1）及ε（x2）。它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为

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更一般情况是，当自变量有误差时，计算函数值也产生误差，其误差限可利用函数的泰勒级数展开式进行估计。设f（x）是一元函数，x的近似值为x，以f（x）近似f（x），其误差限记作ε［f（x）］，可用泰勒级数展开，即

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ξ介于x，x之间，对上式取绝对值得

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若ε（x）值很小，可忽略ε（x）的高阶项，于是可得到计算函数的误差限

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当f为多元函数时，如计算A＝f（x1，x2，…，xn），如果x1，x2，…，xn的近似值为x1，x2，…，xn，则A的近似值为A＝f（x1，x2，…，xn），于是函数值A的误差e（A），由泰勒级数展开得

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于是误差限

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而A的相对误差限为

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这里举一个简单的例子，例如测量某场地长l＝110m，宽d＝80m，已知｜l－l｜≤02m，｜d－d｜≤01m，试求面积S＝ld的绝对误差限和相对误差限。

解： 由式（2－16）可得

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其中， 而ε（l）＝02m，ε（d）＝01m，于是

绝对误差限为： ε（S）≈80×02＋110×01＝27m2，

相对误差限为：