函数的单调性和极值 最值怎么求

可以用导数求解。

解：设函数y=f（x）

求其单调性，一般是对其求导数，y’=f’（x）。

当f’（x）＞0时，f（x）单调递增；

当f’（x）＜0时，f（x）单调递减；

当f’（x）=0时 f（x）取得极值。

最小值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。

最大值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。

扩展资料：

并非每个周期函数都有最小正周期。

周期函数有以下性质：

（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则  也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T，那么f（x）的任何正周期T一定是T的正整数倍。

（5）T是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（7）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。

两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

参考资料：

函数值域最值常用的方法

1） 利用基本函数求值域法：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域 例1：y=1/(2+)

2） 反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，可以通过求反函数的定义域而得到原函数的值域 对形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函数可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x属于[-3,-1]

3） 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域问题，均使用配方法。

4） 换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而给出原函数的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均为常数，且a=!0)的函数常用此方法求解(注意1新元的取值范围，即换元后的等价性2换元后的可 *** 作性) 例4已知函数f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),则函数f(x)的值域_________

5） 判别式法将函数转化为x 的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根，判别式>=0,从而求得函数的值域，形如 (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解。（分子，分母没有公因式；此时函数的定义域是全体实数）例5：;

6） 不等式法：利用基本不等式： 应用此法注意条件“一正二定三相等”例6：若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+的值域为_____

7） 数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离，斜率等，可用数形结合的方法。 例7:对a,bR设max{a,b}=求函数f(x)=max{},的最小值

8） 导数法：

9） 已知函数的值域，求函数中待定字母的取值范围 9例9：已知函数f(x)=的定义域，值域是[0,2],求m,n的值域。

函数的图像

1：函数图像的基本做法：1）描点法

2） 图像变换法

3） 做图像的一般步骤：a求出函数的定义域；b讨论函数的性质（奇偶性，周期性）以及函数上的特殊点（如渐近线，对称轴）c利用基本函数的图像画出所给函数的图像

2：函数变换的四种形式：

1)平移变换左加右减

2)对称变换 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分别关于y轴，x轴，原点，直线y=x对称。

b:若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(m-x),则y=f(x)的图像关于x=m对称；

c:y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）成中心对称

3)伸缩变换:y=af(x) y=f(ax)

4)翻折变换 y= y=f()

3函数图像的对称性

1） f(-x)=-f(x) 图像关于原点对称

2） f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称

3） y=和y=f(x) 图像关于y=x对称

4） f(a+x)=f(a-x) 图像关于x=a对称

5） f(a+x)=-f(a-x) 图像关于(a,0)对称

函数单调性

判断函数单调性的常用方法：

1） 定义法

2） 两增（减）函数的和还增（减）；增（减）函数与减（增）函数的差还是增（减）函数；

3） 减函数在对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性、

4） y=f(x)在D上单调则y=f(x)在D的子区间上也单调，并且具有相同的单调性。

5） y=f(u),u=g(x)单调性相同，则y=f(g(x))是增函数；单调性相反，则y=f(g(x))是减函数（同增异减）；

6） 互为反函数的两个函数具有相同的单调性

7） 利用导数判断函数的单调性

8） 抽象函数的单调性：做差；做商（注意分母不为零且同号）。

9） 关于函数f(x)=x+a/x(a>0)单调性及应用

例1：函数在定义域上是减函数

例2： 已知函数f(x)=+a/x在[2,+）单调增，求a的取值范围

例3：函数f(x)=,g(x)=x(2-x)的单调区间

例4：函数f(x)对任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0是，f(x)>1,求证f(x)是R上的增函数。

例5：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管及其他费用为平均每吨每天三元，购买面粉每次需要支付运费900元。

（1） 求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买的面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？说明原因。

例6：已知f(x)为R上的减函数，求满足< f(1)的实数x的取值范围。

例7：是否存在实数a是函数f(x)= 在[2,4]上市增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，请说明理由。

函数的奇偶性

1：定义:y=f(x), 定义域关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x) （原点有定义有f(0)=0）

2奇函数，偶函数的图像的性质：

奇函数图像关于原点对称；

偶函数图像关于y轴对称。

3判断奇偶性方法

1） 定义

2） 定义变形：f(-x)+f(x)=0（）为奇函数； f(-x)-f(x)=0（）为偶函数。

3） 函数奇偶性满足下列性质：奇+奇=奇；偶+偶+偶；

奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇。

4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性； 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

周期公式：

1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；

例1：f(x)=lg()

例2：

例3：

例4：

例5：在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]是减函数，讨论f(x)[-2,-1]和[3,4]上的单调性。

例6：已知f(x)是偶函数，且在[）是增函数，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恒成立，求实数a的取值范围

例7：已知 其中a,b,c,d为常数，若f(-7)=-7求f(7)

周期公式：

1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；

求函数解析式常用方法：

（1）定义法：有已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x),改写成g(x)的表达式，然后以x代替g(x), 使得f(x)的表达式常需“凑配”。

例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2)求f(x)的解析表达式。

（2）变量代换法：有已知条件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然后反解出x=g-1(t)带入F(x),即可得f(x)的表达式。

例2：f(e x-1)=2x2-1求f(x)的解析表达式

（3）待定系数法：又是给定函数特征求函数的解析式，可用待定系数法。例3：函数是二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a不等于零)。期中a,b,c是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出abc

例3；设二次方程f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)。且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22（1/2），求f(x)的解析式。

（4）函数方程法：将f(x)作为一个未知量来考虑，建立方程组。消去另外的未知量便得f(x)的表达式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表达式

（5） 参数法：引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式子（即参数方程），再消去参数就得f(x)表达式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表达式

（6）赋值法:对于抽象函数f(x),如果满足条件中对一切实属成立。那么对于特殊值仍然成立。我们就可以赋予特殊值。 例6：已知f(x)满足：f(0)=1,且对任意的x,y属于R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x)

（7） 根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况须引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式。

一次二次函数

1 一次函数

a形如y=kx+b 叫做一次函数值域R；b=0,y=kx叫做正比例函数

b一次函数的k叫做直线y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。

c函数图像（性质）：

1已知函数y=(2m-1)x+1-3m,求m为何值时：

这个函数为正比例函数；

（2）这个函数为奇函数

（3）函数值y随x的增大而减小

2一次函数y=(3a-7)x+a-2的图像与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围______

3已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求实数m的取值范围。

4关于x的方程ax+1=|x|有两个不同的实根，求实数a的取值范围

2 二次函数

a形如 叫做二次函数

值域 a>0 ; a<0

b二次函数有三种形式 A: 一般式

B :顶点式

C 两根式

c二次函数的基本概念： 1对称轴

2顶点坐标 3零点（根）

4韦达定理 5

d 一元二次方程的判别式

e函数图像：（性质）

1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，试确定二次函数

2二次函数的顶点坐标（2，3）且经过点（3,1）求这个二次函数的解析式

3已知抛物线与x轴交与点A(-1,0),B(1,0)，并经过点(0,1),求抛物线的解析式

4已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,他的图像截x轴所得的线段长为8,求解析式

5二次函数的图像如图所示，则点P（a, ）第几象限_____

6以为自变量的二次函数,m为不小于0的整数，它的图像与x轴交与点A和点B，A在原点的左边，B在原点的右边。求这个函数的解析式画出这个二次函数的草图

7如图，抛物线与x轴交与A,B两点且线段OA:OB=3:1则m=_______

8已知函数

（1） 求对一切x，f(x)的值恒为非负实数时a的取值范围；

（2） 在（1）的条件下，求方程的根的取值范围

9正方形CDEF的边长为4，截取一个角得五边形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一点P使矩形PNDM有最大面积

函数的应用

1将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖100个，若这种商品价格每上涨一元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？

2一次时装表演会预算中票价每张100元，容纳观众人数不超过2000元，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图像如右图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）：

（1）当观众人数不超过1000人时，毛利润y关于观众人数的函数解析式和成本费用 S（百元）关于观众人数x的函数解析式

（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润。那么需要售出多少张门票？需付成本费多少元？

3某蔬菜基地种植西红柿，有有历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用下图（1）的一条折线表示。西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示。

（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系Q= g(t);

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

2函数的零点

函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数的图像与x轴的交点的横坐标。零点概念体现了函数和方程之间的密切联系

勘根定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c就是方程的f(x)=0 根

1函数f(x)=的零点是______

2函数的零点所在的大致区间是______

3已知函数的图像如右图所示，求b的取值范围______

4方程的两根分别在区间（2,3）（3，4）之间，求的取值范围

5方程有一非零根，方程有一非零根，求证方程必有一根介于之间

6求证方程在（0,1）内必有一个实数根

7函数的零点大致区间在_________

8已知函数恒有零点，求a的取值范围

9关于x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范围

10根据函数的性质，指出函数的零点所在的大致区间

二分法：不讲

A函数的性质应用

1已知定义域为R的函数是奇函数

(1)求a,b的值

1函数奇偶，单调性解决问题2脱掉f利用函数单调性3注意函数定义域的限制

(2)若对任意的不等式恒成立，求k的取值范围

2函数f(x)( )是奇函数，且当

时是增函数，若f（1）=0,求不等

式<0的解集

B待定系数法的应用

3已知二次函数f(x)二次项系数为a且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）

（1） 若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式

（2） 若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围

4已知f(x)是二次函数，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式

C有关恒成立问题

5设,且为方程f(x)=0的两个实根，若,不等式对任意实数恒成立，求m的值

6已知函数，

（1） 当a=,求f(x)的最小值、

（2） 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围

7我国是一个水资源比较缺乏的国家之一，各地采用价格控制手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费

若每月用水量不超过最低限量a()，只付基本费8元和每月定额损耗费c元:若用水量超过a()时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元；

一次函数的最值，是要结合

自变量的取值范围

来确定的。

因为它本身是没有最值的。

你所举的例子，显然Y随X的增大而减少，

那么在X的最值范围内，当X最大时，Y最小，当X最小时，Y最大。

关键是需要你结合题意正确地确定出自变量的取值范围才行。

单独凭你给出的条件，我也不敢妄下结论。

一般来说,如果这个一元二次函数的定义域是R的话：

（1）函数开口向上,即a>0时,则没有最大值,只有最小值,即函数的顶点,可用函数的顶点公式：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)来求

（2）函数开口向上,即a<0时,则没有最小值,只有最大值,求法同上

若该函数的定义域不是R的话：

（1）函数开口向上,即a>0时：

①当-b/2a在定义域内时,有最小值,再看定义域区间

假设是闭区间[m,n],若-b/2a>(n+m)/2,则最大值是x=m时的函数值,若-b/2a<(n+m)/2,则相反,若两者相同,则最大值即是端点值

当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大值

还有就是区间是半开半闭的情况时,即[m,n)或(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,但若x取不到,则没有最大值

②当-b/2a不在定义域内时,

假设是闭区间[m,n],则最小值和最小值就是两个端点值,算一下再比较大小就行

当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大最小值

当区间是半开半闭的情况,即[m,n)或(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,关键是看能不能取到,但肯定是只有一个最值的

至于函数开口向下,即a<0的情况,上面的看懂了就会了

其实最方便的还是画个草图,分情况讨论一下就行了 ,算二次函数的最值问题只要不弄错定义域,情况分清楚,不讨论错还是很简单的

很高兴为你解答有用请采纳