如何理解抽象函数

解读抽象函数

⑴ 对于f(x)而言(x)的范围=f(x)的定义域

⑵ f:表示同一种运算方式:f(x)相当于f[g(x)],(x)与[g(x)]的范围相同

⑶ 对于f(x+1)而言,(x+1)的范围不等于f(x+1)的定义域

⑷ 对于f(x)与f(x+1):其中(x)与(x+1)的范围相等,{对于两个运算法则相同的函数,其( )中代数式的范围相同}

1已知函数f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域:

若f(x)定义域为:a

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题有一定难度，特别是其定义域，抽象函数定义域问题可以归纳为下列四种类型及相应求法。

一、已知()fx的定义域，求[()]fgx的定义域，

其解法是：若()f

x的定义域为

，则[()]fgx中()agxb

＃，从中解得的取值范围即为

[()]fgx的定义域。

例1

设函数()fx的定义域为[0,1]，则

（1）函数2()fx的定义域为________。

（2

）函数(2)fx-的定义域为__________。

二、已知[()]fgx的定义域，求()fx的定义域。

其解法是：若[()]fgx的定义域为mx

n＃，则由mx

n＃确定()gx的范围即为()fx的定义域。

例2

已知函数[lg(1)]yfx=+的定义域为09x＃，则()yfx=的定义域为________。

三、已知[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域。

其解法是：可先由[()]fgx定义域求得()fx的定义域，再由()fx的定义域求得[()]fhx的定义域。

例3

函数(1)yfx=+定义域是[2,3]-，则(21)yfx=-的定义域是（

）

A

5

[0,]2

B

[1,4]-

C

[5,5]-

D

[3,7]-

四、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4

已知函数()fx的定义域是(0,1]

，求1()()()

(0)2

gxfxafxaa=+-<

的定义域。

可以上文库找找

有的

关键还是对于函数的理解吧，尤其是三要素，对于抽象函数的问题多数考查的是函数的对应法则（或对应关系）。

对称也是一种特殊的对应关系，对于本题来说，f（x）图像对于（0，1）中心对称，说明对于函数y=f（x）来说，如果任意一点（a，b）在其图像上，那么点（a，b）关于（0，1）的对称点（-a，2-b）也在f（x）图像上。

对称点怎么求？

求点（a，b）关于（m，n）的对称点（A，B）

有：A+a=2m，B+b=2n

则A=2m-a，B=2n-b

以上文字化为数学式子如下：

“（a，b）在其图像上”——b=f（a）

“（a，b）关于（0，1）的对称点（-a，2-b）也在图像上”——2-b=f（-a）

可得到以上两个式子，消掉b可得：

f（a）+f（-a）=2

事实上，以上步骤均为思考过程，真正代表了f（x）关于（0，1）中心对称含义的只有最后这个式子f（a）+f（-a）=2

已知f（3）=0，则当a=3时上式有

f（3）+f（-3）=2即0+f（-3）=2，f（-3）=2，那么由f（x）存在反函数可知，

由于f（-3）=2则有f^-1(2)=-3

以上是对于本题的解答，去掉一些文字说明就是解答步骤。

抽象函数的对称问题经常会伴随反函数、周期函数等问题出现，这就需要您牢牢地掌握这些名词的含义，会将文字化作数学式子（当然反过来给您简单的数学式子您也要懂得其含义）

对于中心对称，当函数f（x）的图像关于（a，b）中心对称时，有

f（a-x）+f（a+x）=2b，或者f（x）+f（2a-x）=2b。推导过程如上题

对于轴对称，当函数f（x）的图像关于x=a轴对称时，有

f（a+x）=f（a-x),或者f（x）=f（2a-x）

对于周期，当函数为周期为T的周期函数时，有

f（x+T）=f（x）

简单的就有这些，关于奇偶函数的掌握程度……这个我也说不清

f(x)是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值 构成的集合就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识，我们还需要对f(x)有更深刻的了解。我们可以从以下几个方面来认识f(x)。　第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。象x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。　第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。　例如：f(x+1)的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。　我们不妨作如下假设，如果f(x)=x2+1,那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)与（x+1)2+1这个代数式相等，即：（x+1)2+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)2+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。　再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗？　只须列举一个特殊函数说明。　显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。　例:设 f(x+ )=x2+ ，求f(x)　设x+ =t=>t2—2=x2+　所以f(t)=t2—2， f(x)=x2—2　而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，由t=x+ 可知t≥2或t≤—2　所以f(x)=x2—2，（x≥2或x≤2）　第三：对函数f(x)定义域的认识　如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。　例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1)的定义域相同吗？值域相同吗？如果已知f(x)的定义域是x∈ [1,2]，f(x+1)的定义域是什么？　因为f(x)的定义域是 x ∈ [1,2]，即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x)都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x)都没有函数值。例如3就没有函数值，即f(3)就无意义。因此，当x+1的取值超出了[1，2]这个范围，f(x+1)也就没有了函数值，所以f(x+1)的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集，也就是说f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定义域，又由于1≤x+1≤2故f(x+1)的值域与f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了。　看是不是同一个函数，因为都是f(),所以是同一个　（是不是统一函数只要看（）前面的字母是不是同一个，注意大小写也要一样才是同一函数）　题目中的“已知函数f(x)”中的x是一个抽象的概念，　x可以代替f()括号中任意表达式，　如果他的定义域是（a,b）　那么，x+m和x-m的定义域都是（a,b）　就高中课程而言，函数定义域是说函数f（x）中，x的取值范围。　二、求函数的定义域：　求函数的定义域:　y=1/x 分母不等于0;　y=sprx 根号内大于等于0;　y=logaX 对数底数大于0且不等于1,真数大于0; 说白了，就是自变量可以取值的范围

五类常见的抽象函数模型如下：

正比例函数型：f(x)二kx(k丰0)f(X土y)二f(x)土f(y)； 幕函数型：f(x)=x2f(xy)二f(x)f(y)，f(-)二；

指数函数型：f(x)=axf(x+y)二f(x)f(y)，f(x-y)二；f(y)x 对数函数型：f(x)二logx-f(xy)二f(x)

若f(x)=x^a(x>0)，则f(x)f(y)=x^a·y^a=(xy)^a=f(xy)

若f(x)=kx(k≠0)，则f(x)+f(y)=kx+ky=k(x+y)=f(x+y)

若f(x)=loga(x)(a>0，且a≠1)，则f(x)+f(y)=loga(x)+loga(y)=loga(xy)=f(xy)

若f(x)=cosx，则f(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy=2f(x)f(y)

注：和差化积公式：cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

若f(x)=a^x(a>0，且a≠1)，f(x)f(y)=a^x·a^y=a^(x+y)=f(x+y)

若f(x)=Acos(2πx/n+kπ/2)，函数周期为n，则f(x+n)=Acos(2πx/n+2π+kπ/2)=Acos(2πx/n+kπ/2)=f(x)全部回答

1楼慢性怪人

2019-01-05 06:45

函数：f(xy)=f(x)f(y) 设f(x)=x^n,所以f(xy)=f(x)f(y) 正比例函数,f(xy)=(xy)^n=x^ny^n,f(x)f(y)=)=x^ny^n