Hopfield神经网络

Hopfield神经网络(Hopfield Neural Network，简称 HNN)，是美国加州理工学院物理学家Hopfield教授1982年提出的一种反馈型神经网络，信号不但能向前，还能向后传递(输出信号又反馈回来变成输入信号。而前面所介绍的BP网络是一种前馈网络，信号只能向前传递)。他在Hopfield神经网络中引入了“能量函数”概念，使网络的运行稳定性的判断有了可靠依据。Hopfield神经网络的权值不是经过反复学习获得的，而是按照一定规则计算出来的，一经确定就不再改变，而Hopfield神经网络的状态(输入、输出信号)会在运行过程中不断更新，网络演变到稳态时各神经元的状态便是问题的解。

1985年，Hopfield和Tank研制了电子线路来模拟Hopfield网络，较好地解决了优化组合问题中著名的TSP(旅行商)问题，找到了最佳解的近似解，为神经网络的复兴建立了不可磨灭的功劳。

对于地球物理反演这种最优化问题，可以很方便地用Hopfield网络来实现。反演的目标函数等于Hopfield网络的“能量函数”，网络的状态(输入、输出信号)就是模型的参数，网络演变到稳态时各神经元的输入输出值便是反演问题的解。

Hopfield神经网络分为离散型和连续型两种网络模型，分别记为DHNN(Discrete Hopfield Neural Network)和CHNN(Continues Hopfield Neural Network)。

在前馈型网络中无论是离散的还是连续的，一般均不考虑输入与输出之间在时间上的滞后性，而只表达两者之间的映射关系。但在连续Hopfield神经网络中，考虑了输出与输入之间的延迟因素，因此需要用微分方程或差分方程来描述网络的动态数学模型。

8.5.4.1 离散Hopfield神经网络

离散Hopfield神经网络的拓扑结构如图8.12所示。这是一种单层全反馈网络，共有n个神经元。图8.12的特点是任意一个神经元的输出xi只能是0或1，均通过连接权wij反馈至所有神经元j作为它的输入xj。也就是说，每个神经元都通过连接权接收所有其他神经元输出反馈的信息，这样每一个神经元的输出都受其他所有神经元输出的控制，从而每个神经元的输出相互制约。每个神经元均设一个阀值Ti，以反映对输入噪声的控制。

图8.12 离散Hopfield神经网络的拓扑结构[8]

8.5.4.1.1 网络的状态

离散Hopfield神经网络任意一个神经元的输出xj称为网络的状态，它只能是0或1。变化规律由下式规定:

xj=f(netj) j=1，2，…，n(8.33)

f( )为转移函数，离散 Hopfield神经网络的转移函数常用符号函数表示:

地球物理反演教程

其中netj为净输入:

地球物理反演教程

对离散Hopfield神经网络，一般有

wij=0，wij=wji (8.36)

这说明神经元没有自反馈，两个神经元的相互控制权值相同。

离散Hopfield神经网络稳定时，每个神经元的状态都不再改变。此时的稳定状态就是网络的输出，记为

地球物理反演教程

8.5.4.1.2 网络的异步工作方式

它是一种串行方式，网络运行时每次只改变一个神经元的状态，其他神经元的状态保持不变。

8.5.4.1.3 网络的同步工作方式

它是一种并行同步工作方式，所有神经元同时调整状态。

8.5.4.1.4 网络的吸引子

网络达到稳定状态时的输出X，称为网络的吸引子。

8.5.4.1.5 网络的能量函数

网络的能量函数定义为

地球物理反演教程

以上是矩阵形式，考虑无自反馈的具体展开形式为

地球物理反演教程

当网络收敛到稳定状态时，有

ΔE(t)=E(t+1)-E(t)=0 (8.40)

或者说:

地球物理反演教程

理论证明了如下两个定理[8]:

定理1.对于DHNN，若按异步方式调整网络状态，且连接权矩阵W为对称阵，则对任意初始状态，网络都能最终收敛到一个吸引子。

定理2.对于DHNN，若按同步方式调整网络状态，且连接权矩阵W为非负定对称阵，则对任意初始状态，网络都能最终收敛到一个吸引子。

8.5.4.1.6 利用离散Hopfield神经网络进行反演

在地球物理线性反演中，设有如下目标函数:

地球物理反演教程

对比式(8.38)和式(8.42)发现它们在形式上有很多相似之处。王家映的《地球物理反演理论》一书中，直接用式(8.42)和式(8.38)类比，公式显得复杂。本书设立一个新的目标函数ϕ，公式将会变得简洁得多:

地球物理反演教程

再对比式(8.38)和式(8.43)，发现它们完全一样，只要设:

X(t)=m，W=GTG，T=GTd (8.44)

注意:式(8.43)的目标函数ϕ的极大值解就是原来目标函数φ极小值的解，它们是同解的。

如果待反演的模型参数是离散的0或1值，那么可以直接应用离散Hopfield神经网络进行反演。但是一般它们都是连续的数值，所以还要将模型参数表示为二进制[1]:

地球物理反演教程

其中:Bij=0或1为二进制数D和U为整数，取决于模型参数的大小和精度。这样第i个模型参数就用Bij表示为了二进制数。将式(8.45)代入目标函数式(8.43)后再与离散Hopfield神经网络的能量函数进行对比，确立新的等价关系后，就可以进行反演了。

这个新的等价关系式可以参见王家映的《地球物理反演理论》[1]一书。

反演的过程大致如下:

(1)根据模型参数的大小范围和精度确定D和U，将初始输入模型参数变为二进制数。设立一个拟合精度标准，如相对均方差ε，设定一个最大迭代次数N(所有神经元的输出都修改一次称为一次迭代)。

(2)利用数据方程的G矩阵(在一般情况下需用偏导数矩阵获得)计算网络的权值和阀值。

(3)将二进制初始模型参数输入网络并运行网络。

(4)把每次迭代网络输出值变为十进制模型参数，进行正演计算。如果拟合满足精度ε，则停止网络运行并输出反演结果。否则重复(2)~(4)步直到满足精度或达到最多迭代次数N为止。

在一般情况下，地球物理数据方程的G矩阵是无法用解析式写出的，需要用偏导数矩阵获得，它是依赖于输入参数的，因此网络的每次迭代都要重新计算偏导数矩阵。这个计算量是很大的。因此他的反演过程和最小二乘法相似。此外，用Hopfield神经网络进行反演同样有可能陷入局部极值点(吸引子)。因此同样受初始模型的影响，需要尽量让初始模型接近真实模型。

8.5.4.2 连续Hopfield神经网络(CHNN)[8]

1984年，Hopfield把离散Hopfield神经网络发展为连续Hopfield神经网络。但所有神经元都同步工作，各输入输出量为随时间变化的连续的模拟量，这就使得CHNN比DHNN在信息处理的并行性、实时性方面更接近实际的生物神经网络工作机理。因此利用CHNN进行地球物理反演更加方便。

CHNN可以用常系数微分方程来描述，但用模拟电子线路来描述，则更加形象直观，易于理解。图8.13为连续Hopfield神经网络的拓扑结构[8]。

图8.13 连续Hopfield神经网络的拓扑结构[8]

图8.13中每个神经元用一个运算放大器模拟，神经元的输入输出用放大器的输入输出电压表示，连接权用电导表示。每个放大器有一个正向输出和一个反向输出，分别表示兴奋和抑制。每个神经元还有一个用于设置激活电平的外界输入偏置电流作为阀值。

这里由于篇幅关系不再累述。感兴趣的读者可以参考其他文献。

It is known that there are n cities related to TSP problems. Now a promotor needs to visit all n cities. He is required to visit only one time for every city and back to the starting city at last. Please arrange the visiting order so as to make the tatal route shortest. TSP is the typical 组合优化

question of NP-hard as well as a standard question of mearsuring 算法优劣性.

TSP问题(Traveling Salesman Problem)是已知有n个城市，现有一推销员必须遍访这n个城市，且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。要安排其访问次序，使其旅行路线的总长度最短。TSP是经典的NP-hard组合优化问题之一，也是一个测试算法优劣性的标准问题.

悬赏分快被没收TAT

用神经网络求解Job－Shop类型调度问题沈刚 汪叔淳

【摘要】：本文在Hopfield神经网络的基础上针对FMS中Job－shop类型调度问题，提出了线性Hopfield神经网络的表示方法，给出了网络的能量函数表示方法及神经元状态方程。理论上，证明了算法的收敛性及能量函数中系数与迭代步长的关系，软件模拟计算结果表明，所提出的方法是有效的且计算结果是满意的。

【作者单位】： 北京航空航天大学七零五教研室

【关键词】： Job－shop调度 约束条件 目标函数 神经网络

【基金】：国家教委博士学科点专项基金

【分类号】：O224

【正文快照】：

用神经网络求解Job－Shop类型调度问题沈刚，汪叔淳（北京航空航天大学七零五教研室，北京100083）【提要】本文在Hopfield神经网络的基础上针对FMS中Job－shop类型调度问题，提出了线性Hopfield神经网络的表示方法，给出了网络的能

---