关于反函数解

y=(eˣ - e-ˣ)/2 = (eˣ - 1/eˣ)/2 

设：eˣ = A --- y=(A-1/A)/2 --- 2y=A-1/A --- A² -2yA-1=0

解出：A = y ± √(y² - 1)

x = ln A = ln [y+√(y² - 1)] --- 这就是通过(1)式解出 x是y的函数！把x，y对换得到：

反函数：                 y = ln [x+√(x² - 1)]

实际上：   sh(x) = (eˣ - e-ˣ)/2 ------------ 双曲正弦函数

而 y是： sh⁻¹(x) = ln [x+√(x² - 1)] ----- 反双曲正弦函数 

1、首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。

2、例如：

y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

扩展资料：

1、反函数的性质：

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（8）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

（9）y=x的反函数是它本身。

2、反函数存在定理：

严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

参考资料来源：百度百科 - 反函数

求反函数的步骤：
1、反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值。
2、将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式。
3、求反函数的定义域，这个是很重要的一点，反函数的定义域是原函数的值域。
则转变成求原函数的值域问题，求出了解析式，求出了定义域，就完成了反函数的求解。
例如：f(x)=2^x+1的反函数
求原函数的定义域,y>1,以备作反函数的定义域；
从y=2^x
+1中解出x=log2(y-1)；
x,与y互换,得反函数
y=log2(x-1)
在求反函数的求法中是必须要调换x和y的。
反函数也是函数，是函数的话，一般用x表示自变量，y表示函数。既是习惯，也是约定。

扩展资料：

常见的反函数：
三角函数特殊一点，如arcsin(x)因值域为[-π/2,π/2],需要分段求（向上或向下平移）：
y=sinx
(-π/2≤x≤π/2)
反函数y=arcsinx
y=sinx
(π/2≤x≤3π/2)
反函数y=π-arcsinx
y=sinx
(3π/2≤x≤5π/2)
反函数y=2π+arcsinx
参考资料来源：百度百科-反函数

求反函数的方法只有一种：那就是反解方程,对换xy位置,求定义域求反函数的步骤：1）反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值；
2）将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式；
3）求反函数的定义域,这个是很重要的一点,反函数的定义域是原函数的值域,则转变成求原函数的值域问题求出了解析式,求出了定义域,就完成了反函数的求解如：求y=√(1-x)
的反函数注：√(1-x)表示根号下(1-x)　两边平方,得y²=1-xx=1-y²对换x,y
得　y=1-x²所以　反函数为y=1-x²（x≥0)
注：反函数里的x是原函数里的y
,原函数中,y≥0,所以反函数里的x≥0
在原函数和反函数中,由于交换了x,y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域

解析：

求反函数，无特殊方法，无捷径。“三步走”

(1) 确定原函数的值域。

(2) 由原函数的表达式，求“x关于y的表达式”。

(3) 交换x和y，附上定义域。

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的 反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是 原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

在微积分里， f (n)( x)是用来指 f的n次 微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为 可逆的（invertible）。

例题(1)y=(2x-3)/(5x+1)
x属于R
且x≠-1/5
(2)y=(4x+1)/(5x-3)
x属于R
且x≠3/5
(3)y=(x-1)/2的立方根+1
x属于R
解答1y=(2x-3)/(5x+1)
所以y(5x+1)=2x-3
所以5xy+y=2x-3
所以x(5y-2)=-y-3
所以x=-(y+3)/(5y-2)
交换x与y得到原函数的反函数：
y=-(x+3)/(5x-2)
(x≠2/5)
2y=(4x+1)/(5x-3)
所以y(5x-3)=4x+1
所以x(5y-4)=3y+1
所以x=(3y+1)/(5y-4)
所以反函数为：
y=(3x+1)/(5x-4)
3y=(x-1)/2的立方根+1
所以y-1=(x-1)/2地立方根
所以(y-1)^3=(x-1)/2
所以x-1=2(y-1)^3
所以x=2(y-1)^3+1
所以反函数为
y=2(x-1)^3+1
(y-1)^3
和(x-1)^3表示y-1和x-1的立方
总结反函数的一般解法：
1。从原来的函数方程中解出x,即用y来表示x
2将所有的x换成y,将所有的y换成x
就得到了反函数

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