《Unity Shader入门精要》笔记（三）

二维笛卡尔坐标系：

x轴、y轴朝向并非固定，如：OpenGL和DirectX使用了不同的二维笛卡尔坐标系。

三维笛卡尔坐标系：

标准基矢量：互相垂直，且长度为1的基矢量。

正交基：互相垂直，但长度不为1的基矢量。

以手的大拇指作为 +x 轴，食指作为 +y 轴，中指作为 +z 轴，将3根手指互相垂直，可以用左手示意的坐标系，为左手坐标系：

可以用右手示意的坐标系，为右手坐标系：

左手坐标系和右手坐标系无法通过旋转实现坐标轴指向重合。

左手坐标系和右手坐标系分别对应 左手法则 和 右手法则 ，用来在坐标系中定义旋转的正方向，下图4个手指指向的方向即为正方向：

Unity的模型空间和世界空间使用的是左手坐标系，注意观看下图红、绿、蓝轴在右上角分别对应x轴、y轴、z轴：

Unity的观察空间使用的是右手坐标系。观察空间，就是以摄像机作为原点的坐标系，在这个坐标系中，摄像机的前向是z轴的负方向，与模型/世界空间的定义相反。即：z轴坐标的减少意味着场景深度的增加。

点是n维空间（游戏中主要是用二维、三维空间）中的一个位置，没有大小、宽度的概念。

二维空间点的表示： p = (x, y)

三维空间点的表示： p = (x, y, z)

矢量是n为空间中包含模和方向的有向线段，没有位置的概念。

矢量的模：矢量的长度，非负数。

矢量的方向：矢量在空间中的指向。

矢量的表示与点类似， v = (x, y)，v = (x, y, z)，v = (x, y, z, w) 。

为区分点和矢量，在变量书写上，标量用小写字母表示，如：a, b, x, y, z等；矢量用小写的粗体字母表示，如： a , b , u , v 等。

矢量通常有一个箭头表示：

标量是只有模，没有方向的量，比如：距离、速度等。

矢量无法与标量进行加减运算，但是可以进行乘法或除法运算。

矢量与标量的乘法：

kv = (kv x , kv y , kv z )

矢量可以被非0的标量除，但是矢量无法作为除数：

从几何意义上看，一个矢量 v 和一个标量k相乘，意味着对矢量 v 进行一个大小为|k|的缩放。若k<0，则矢量方向取反，如下图：

两个矢量加减，即：两个矢量的对应分量进行加减，公式如下：

a + b = (a x +b x , a y +b y , a z +b z )

a - b = (a x -b x , a y -b y , a z -b z )

从几何意义上看，矢量加法，即：把矢量 a 的头连接到矢量 b 的尾，然后画一条从 a 的尾到 b 的头的矢量，来得到 a 和 b 相加后的矢量，如下图所示：

也可以理解为：一个点从 a 的尾进行位置偏移 a ，在进行位置偏移 b ，就等同于进行了 a + b 的位置偏移，这被称为矢量加法的 三角形定则 。

矢量的减法类似：

在图形学中，矢量通常用于描述位置偏移（简称位移）。我们可以利用矢量的加法和减法来计算一点相对于另一点的位移。

矢量的模是一个标量，可以理解为矢量在空间中的长度。表示符号通常是在矢量的两边加上竖线，比如：| v |。

三维矢量的模的计算公式：

其他维度的矢量的模计算类似，都是对每个分量平方相加后开根号。几何意义，可用下图解释：

单位矢量指模为1的矢量，也被称为被归一化的矢量（normalized vector）。通常用在只关心方向，不关心模的矢量，比如：模型的发现方向、光源方向等。

把非零矢量转换成单位矢量的过程叫 归一化 。

单位矢量的表示为：

单位矢量的公式：

零矢量：每个分量的值都为0的矢量，如： v = (0, 0, 0)。零矢量不能被归一化，因为除法运算时，分母不能为0。

从几何意义上看，对于二维空间，单位矢量就是从圆心出发、到圆边界的矢量：

对于三维空间，单位矢量就是从圆心出发、到球面的矢量。

在Unity Shader中，会经常遇到法线方向、光源方向，这些矢量不一定是归一化后的矢量，计算的时候需要将这些矢量归一化成单位矢量。

矢量的乘法有两种类型：点积（dot product）、叉积（cross product）。

矢量的点积，也叫内积。点积的运算表示： a · b ，中间的点不能省略。

点积公式一 ：

a · b = (ax, ay, az) · (bx, by, by) = axby + ayby + azbz

点积满足交换律：

a · b = b · a

点积的几何意义： 投影 。

投影的值可能是负数，投影结果的正负号与 a 、 b 两个矢量的方向有关：方向相反，结果小于0；方向相同，结果大于0；方向垂直，结果等于0。

性质一：

点积可结合标量乘法

(k a )· b = a ·(k b )=k( a · b )

k的几何意义是：对矢量进行缩放。

性质二：

点积可结合矢量加减法

a ·( b + c ) = a · b + a · c

将 c 换成- c 就是减法的版本。

性质三：

一个矢量与自身点积的结果是该矢量模的平方

v · v = v x v x + v y v y + v z v z = | v | 2

可以用矢量点积的形式来求矢量的模，Shader中常用模的平方来直接做比较或运算，目的是减少开放带来的性能消耗。

点积公式二 ：

a · b = | a || b |cosθ

公式二的证明：

假设对两个单位矢量进行点积

如下图所示：

由上图可知，cosθ对应的直角边是： a · b 的点积（ b 矢量在 a 矢量的投影），且 cosθ = 直角边 / 斜边 ，则 a · b 的点积 = cosθ 斜边 ，因为单位矢量 b 的模是1（斜边长度为1），所以： a · b 的点积 = cosθ，也就是两个单位矢量的点积为夹角的cos值。

再由之前性质一，可得推导公式二：

由公式二可知，点积可用于求两个矢量的夹角：

叉积，也叫外积。与点积不同，叉积的结果仍然是矢量，而非标量。

叉积的表示： a x b ，叉号不能省略。叉积的计算公式如下：

a x b = (a x , a y , a z ) x (b x , b y , b z ) = (a y b z -a z b y , a z b x -a x b z , a x b y -a y b x )

具体的记法，可以这样：

叉积不满足交换律，即： a x b ≠ b x a ；但是叉积满足反交换律，即： a x b = - ( b x a )。

叉积不满足结合律，即：( a x b ) x c ≠ a x ( b x c )。

叉积的几何意义：

对两个矢量进行叉积的结果，会得到同时垂直于这两个矢量的新矢量。

叉积的模

公式：

| a x b | = | a || b |sinθ

这容易联想到平行四边形求面积：

面积A = | b | h = | b | (| a | sinθ) = | a || b |sinθ

叉积的方向

从几何意义可知，两个矢量的叉积，会得到垂直于两个矢量的新矢量，但是与其垂直的有两个向量。这时前面学到的 左/右手坐标系 就派上用场了，它用来确定叉积得到新矢量的方向朝哪边。

将大拇指与a同向，食指与b同向，中指指向的方向就是叉积结果的方向，所以使用左、右手就会得到不同的朝向，如下图：

同理，左右手法则也通用可以用来判断，如下图：

矩阵（Matrix），就是有m x n个标量组成的长方形数组，通常用方括号在左右两侧围住这些数字，大概像这样：

有些资料也会用圆括号或花括号，其实都一样的。

矩阵有行、列之分，上图的数组就是三行四列。以3x3矩阵为例，它可以写成：

mij表示这个元素在矩阵M的第i行、第j列。

矢量，我们通常写成： a = (x, y, z)，可以看出矢量与矩阵一样，也是个数组。将矢量按照矩阵的写法，可以看成是 n x 1 的列矩阵或 1 x n 的行矩阵，n对应矢量的维度。

以矢量 v = (3, 8, 6)举例，写成行矩阵：

[3, 8, 6]

写成列矩阵：

为什么要和矢量联系起来？因为Shader中经常会将法线（矢量）进行坐标变换，而坐标变换是矩阵的几何意义，所以需要运用矩阵的运算来将法线从模型空间转变成世界空间。（后续会学到）

与矢量类似，矩阵和标量相乘后，结果仍然是一个矩阵。公式如下：

矩阵和矩阵相乘后，结果也是矩阵。新的矩阵的维度与两个原矩阵的维度有关。一个 rxn 的矩阵A和一个 nxc 的矩阵B相乘后，得到的结果AB是一个 rxc 大小的矩阵。需要注意， 第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相等，才能相乘 。

比如：矩阵A的维度是 4x3 ，矩阵B的维度是 3x6 ，则AB的维度是 4x6 。

矩阵乘法的表达式：

假设有 rxn 的矩阵A和 nxc 的矩阵B，相乘后得到一个 rxc 的矩阵C = AB，那么C中的每个元素Cij等于A的第i行所对应的矢量和B的第j列所对应的矢量进行点乘的结果，即：

简单解释为：

对于每个元素c ij ，找到A中的第 i 行和B中的第 j 列，把他们对应的元素相乘后再加起来，这个和就是c ij 。

性质一：

矩阵乘法不满足交换律： AB ≠ BA

性质二：

矩阵乘法满足结合律： (AB)C = A(BC) 、 ABCDE = ((A(BC))D)E = (AB)(CD)E

方块矩阵，简称方阵。指行数和列数相等的矩阵，比如： 3x3 、 4x4 的矩阵。

方块矩阵独有的： 对角元素 ——行号和列号相等的元素。只有对角元素非0的矩阵叫 对角矩阵 。

对角元素都为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，用I n 表示，比如：

单位矩阵特性：任何矩阵和它相乘的结果还是原来的矩阵。相当于标量中1的地位。

MI = IM = M

转置矩阵实际是对原矩阵的一种运算，即转置运算。一个 rxc 的矩阵M，其转置表示成M T ，是一个 cxr 的矩阵，本质是原来的矩阵行、列对换。

性质一：

矩阵转置的转置等于原矩阵。

(M T ) T = M

性质二：

矩阵串联的转置，等于反向串联各个矩阵的转置。

(AB) T = B T A T

只有方阵才有逆矩阵，逆矩阵表示为M -1 。一个矩阵与它的逆矩阵相乘，结果是一个单位矩阵：

MM -1 = M -1 M = I

有点标量里面倒数的味道。

不是所有方阵都有对应逆矩阵，比如：所有元素都为0的矩阵。

如果一个矩阵有对应的逆矩阵，则它是 可逆的 或 非奇异性的 ；

相反，则它是 不可逆的 或 奇异性的 。

判断矩阵是否可逆：

矩阵的 行列式 不为0，则它是可逆的。

参考视频链接： >

可以使用

Vector3Lerp

QuaternionLerp

在对坐标进行 *** 作的时候，只改变x和z的值。而y值的改变，是通过人物向下发射射线，获取离地距离来动态调整的。这样就不穿插到地面了

希望 对你有帮助。

望采纳

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