1、封闭性：群内任意两个元素或两个以上的元素（相同的或不同的）的结合（积）都是该集合的一个元素。即假设对于群G操作（运算）是*，对于G里的任意元素a,b，那么a*b和b*a都必须是G的元素。
2、结合律：虽然群元素不一定要求满足交换律，但必须满足结合律，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)。
3、单位元素(幺元)：集合G内存在一个单位元素e，它和集合中任何一个元素的积都等于该元素本身，即对于G中每个元素a都有 e*a=a*e=a。
4、逆元素：对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），使 a^（-1）*a=a*a^(-1)=e。
扩展资料：
一、循环群
循环群是—种很重要的群，也是目前已被完全解决了的—类群。其定义为若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。
二、置换群
n元对称群的任意一个子群，都叫做一个n元置换群，简称置换群。
置换群是最早研究的一类群，是十分重要的群，每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，所有的有限群都可以用它来表示。
由有限集合各元素的置换*所构成的群*。它是一种重要的有限群。
每个代数方程，都有由它的根的置换所形成的置换群存在伽罗华*利用置换群的性质，给出了方程可用根式求解的充要条件。
由n个元素的集合中各元素的全部置换所构成的群，称为n阶对称群。讨论正n边形绕中心的对称，就得到一个对称群。
参考资料来源：百度百科－群
这里引用的是科学出版社杨劲根编著的《近世代数讲义》中的定义哦~定义比较多，层层往前QAQ~那么开始惹O(∩_∩)O
1：设n是一个自然数，从集合｛1，2，3，…，n｝到它自身的一个双射称为n个文字的一个置换。
2：这里的1，2，3，…，n并没有数量上的意义，只是n个方便的符号而已，这就是为什么把它们叫做“文字”而不是“数字”。
3：把n个文字的置换全体所构成的集合记作Sn，可以知道Sn是一个有限集合，含n!（n的阶乘）个元素。
4：在Sn中引进二元运算，设σ，τ属于Sn，规定στ为这两个映射的复合，复合的次序为先τ后σ，即映射στ把i映成σ[τ(i)]。
5：Sn在如上的定义的二元运算下构成一个n!阶的有限群。
6：Sn的任何一个子群叫做一个置换群，Sn本身叫做的n个文字的对称群。
…………
其实别看文字这么多（……-_-||），其实就是说定义了所有的置换为一个集合，再在集合上定义了一个二元运算使其成为一个群，然后它的子群就是置换群咯O(∩_∩)O
加油加油o(≧v≦)o
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