求幂级数∑（上面∞，下面n＝0）x的n次方n+1的和函数，求详细过程！！

先求收敛区间，由于lim(n趋于∞)|an+1/an|=1，故R=1在x=1点，幂级数变成发散的，在x=-1点，幂级数变成收敛的，因此收敛区间是[-1，1)，设f(x)=∑（0,∞）x^n/(n+1)，n∈[-1，1)于是xf(x)=∑（0,∞）x^(n+1)/(n+1)，两端对x求导，得

[xf(x)]'=∑（0,∞）[x^(n+1)/(n+1)]'=∑（0,∞）x^n=1/1-x x∈(-1，1)

对上式两端从0到x积分，得xf(x)=-ln(1-x)

当x≠0时，有

f(x)=-1/xln(1-x)，而f(0)=1，所以f(x)须分段，，，

具体如图所示：

如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。

求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。

扩展资料：

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为：

对于  ，这里的  表示a的主n次方根。

所有x=a或a的n次方根，这里的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

对于  ，这里的  表示a的主n次方根。

对于正数A，可以通过以下算法求得  的值：

（1）猜一个  的近似值，将其作为初始值  。

（2）设  。记误差为  ，即  。

（3）重复步骤2，直至绝对误差足够小，即：  。

——n次方根

具体如图：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

扩展资料：

令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。

——函数

当x=0时，S(0)=0，当x≠0时，S(x)=∑n^2x^n=x∑[(n+1)n-n]x^(n-1)，S(x)/x=∑(n+1)nx^(n-1)-∑nx^(n-1)=[∑x^(n+1)]''-[∑x^n]'=[x^2/(1-x)]''-[x/(1-x)]'=2/(1-x)^3-1/(1-x^2)=(1+x)/(1-x)^3，得S(x)=x(1+x)/(1-x)^3，已包含了x=0的情况。收敛域-1

1

fn(x)=n²x²(1-x)^n

;n>0

fn'(x)=n²[2-(n+2)x]x(1-x)^(n-1)

可知当x=2/(n+2)时有最大值；fn（x）在[0,1]上的最大值是fn[2/(n+2)]=4[n/(n+2)]^(n+2)

2

函数f(x)=2cos²x+2sinxcosx-1的图象与g(x)=-1的图象在y轴右侧的交点按横坐标从小到大的顺序记为d1,d2,d3

f(x)=√2sin(2x+π/4)=-1

2x+π/4=(8n-2±1)π/4

x=(8n-3±1)π/8

d5=20π/8

d7=28π/8

d5d7=35π²/4

∑x^(n-1) 的首项 a1=x^(1-1)=1；公比 q = x，所以 ∑x^(n-1) 和为 Sn=(1-x^n)/(1-x)；因为 x 在区间（-1，1），x^n的极限为0，所以S∞ = 1/(1-x)。

在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

扩展资料：

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

--幂级数