如何证明x的立方是凸函数？

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;

f(x)=x³ 定义域为（-∞，+∞）

对f(x)求二阶导数

f“(x)=6x

在定义域上f(x)=x³的二阶导数不恒≥0，所以它不是凸函数

在(-∞，0）上，它是凹函数

在(0，+∞) 上，它是凸函数

分析,

要加上条件：函数在定义域内连续

f(x)是凸函数,又是凹函数,证明：f(x)一定是线性函数

证明：

函数f(x)在定义域内连续,

在定义域内,任意设两点x1,x2,(x1≠x2)

根据凸函数的性质,

f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2

再根据凹函数的性质,

f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2

因此,f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2,

满足这样条件的f(x)一定可以写成,f(x)=ax+b

故,f(x)是线性函数

用反证法 设两函数有三个交点 则F（x）=f（x）-g（x） 有三个零点 利用两次罗尔定理得到 存在n使得 F"(n)=0,

而f（x）g（x）一个为凸函数一个为凹函数 => F（x）的二次导函数要么大于0要么小于0 所以矛盾

凸函数即二价导数存在且大于0，

设有凸函数f(x)>0, g(x)>0,

设F(x)=f(x)×g(x),

则有F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x),

F"(x)=f(x)g"(x)+f'(x)g'(x)+f"(x)g(x) f'(x)g'(x)=2f'(x)g'(x)+f(x)g"(x)+ f"(x)g(x)

由于f'(x)与g'(x)在凸函数当中并未限定，所以无法判断正负号。

结论是无法断定，原命题是假的。

这是个伪命题，

y=f(x)=||x||=|x|，

x>0时，f(x)=x，f'(x)=1，f''(x)=0，

x=0时，函数不可导，

x<0时，f(x)=-x，f'(x)=-1，f''(x)=0，

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数，要求f''(x)<0。

所以此函数不是凸函数。