什么是反三角函数

郭敦顒回答：

什么是反三角函数？

想来你已认识了三角函数，一个角α的三角函数有α角的正弦sinα，α角的余弦cosα，α角的正切tanα，α角的余切cotα，α角的正割secα，α角的余割cscα，共六个，

如在Rt⊿ABC中，∠C=90°，角的对边分别为a，b，c，c为斜边，

则∠A的三角函数是：

sin A= a/c，cosA= b/c，tanA= a/b，cotA= b/a，secA= c/b，cscA= c/a。

当∠A=30°时，则sin A = sin30°=05，cos30°=（1/2）√3，，

又当已知c=2，则由sin A= a/c得，a=sin A =2•sin30°=1。

以上是已知角度值，得三角函数值，及利用三角函数值求边长。

但若不知角度值，却已知三角函数值，或已知边长计算得到三角函数值，如a=1，c=2，则sin A= a/c=1/2=05，∴∠A=30°，

这个过程写为arc sinx，当x=05时，arcsin05=30°，

arc sinx是x的反正弦函数，sinx表正弦函数值，arc是反三角函数符号，通常

x是已知的。

当已知三角函数值求对应的角度时，则用反三角函数。

arc cosx为x的反余弦函数，其它反三角函数略。

反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割，反余割为x的角。

如y=sinx,那么他的反函数就是x=arcsiny,为了写成一般熟悉的函数的样子改写成y=arcsinx,其实这里面的x就是前面函数的y。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是

。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反正弦函数

x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。

反正切函数

x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反余切函数

x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx

绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

反正割函数

x=sec y在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

反余割函数

x=csc y在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

反三角函数的定义域：y=arcsinx的定义域是 [-1,1]，y=arccosx的定义域是 [-1,1]，y=arctanx 的定义域是R，y=arccotx的定义域是R。

反三角函数是一种基本初等函数。它反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccotx,反正割arcsecx,反余割arccsc 这些函数的统称，各自示板正弦反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。

正弦函数与反弦函数的定义域是[-1, 1],反正切函数和反切函数的定义域是R,反正割函数和反余割函数的定义域是(-∞, -1]U[1, +∞)。

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，分别记为Arcsin x，Arccos x，Arctan x，Arccot x，Arcsec x，Arccsc x。但是，在实函数中一般只研究单值函数，只把定义在包含锐角的单调区间上的基本三角函数的反函数，称为反三角函数，这是亦称反圆函数。

性质：

反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

三角函数的反函数如下：

反三角函数是一种基本初等函数，它是反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割这些函数的统称。各自表示其正弦，余弦、正切、余切、正割，余割为x的角。三角函数的三角函数是个多值函数，因为它不满足一个自变量对应一个函数的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称，欧拉提出反三角函数的概念，并且首先是用了“arc+函数名”的形式来表示反三角函数。