三角函数图像周期怎么看例子

从图像上来说，及相邻两个最高点或最低点的X值的差的绝对值，注意

一：是‘相邻’，二：周期函数的周期是有无数个，如F(X)的周期为T，那么T，2T,3T都是他的周期，一般只说最小正周期

第二种方法，就是找图像与x轴的交点，任意“连续”三点，用x值最大减去最小，就是最小正周期,找到图像与X轴相交的点的横坐标，那么相邻两点的横坐标之间距离长度就是半个周期。那一个周期就乘以2了。

正弦函数的性质是：

1、单调区间：正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减。

2、奇偶性：正弦函数是奇函数。

3、对称性：正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ，0)中心对称。

4、周期性：正弦函数的周期都是2π。

正弦函数关系式：

积的关系：

sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ）

cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）

tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)

倒数关系：

tanα × cotα = 1

sinα × cscα = 1

cosα × secα = 1

证明f（x+T）=f（x）即可。

周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，

∴T=0与T≠0矛盾，

∴f（x）是非周期函数。

简介

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。

周期函数怎么判断

1周期函数的判定方法

1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例：f(X)=cosx 是非周期函数。

2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。

例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数

证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2

T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

1，y=cos(x-1)

这个函数是y=cosx向右边移动了2个单位，所以不改变原函数的周期，T=2兀

2,y=xtanx

y=tanx是周期函数，但是x是会越来越大的，当两者相乘时，y=tanx图像将会扭曲，随着x的变大，图像伸展的越厉害。所以T不存在。

3,y=(sinx)^2

y=(sinx)^2其实是y=sinx的基础上进行变换的，y=(sinx)^2图像是y=sinx在x轴的下半部分翻折到x轴的上半部分，再进行平方，也就是图像向上伸展。周期很明显就是原函数的一半。T=兀

1= -sin(2x - 1),是,周期为2π/2 = π

2= (1/2)(1 - cos2x),周期为2π/2 = π

3sin4x周期为2π/4 = π/2,绝对值号使sin4x图象在x轴下方的部分翻折到x轴以上,|sin4x|的周期为sin4x的一半,即π/4

4不是周期函数

5cos(x/2)周期为2π/(1/2) = 4π,sin(x/3)周期为2π/(1/3) =6π,二者的最小公倍数为12π,此为2cos(x/2)-3sin(x/3)的周期

周期函数定理，总结一共分一下几个类型。

定理1

若f(X）是在集M上以T为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T为最小正周期的周期函数。[2]

证：

∵T是f(X）的周期，∴对 有X±T 且f(X+T)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T)+C，

∴K f(X)+C也是M上以T为周期的周期函数。

假设T 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T）是K f(X)+C的周期，则对T’（0<T’<T）是K f(X)+C的周期，

有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），

∴T’是f(X）的周期，与T是f(X）的最小正周期矛盾，∴T也是K f(X)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T为最小正周期的周期函数。

定理2

若f(x）是集M上以T为最小正周期的周期函数，则f(ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证f(ax+b)的周期

∵T是f(X）的周期，∴f(x±T)=f(x)，有X±T∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T/a)+b]=f(ax+b)∴T/a是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期

假设存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，

则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f(x）的周期，但 T’<T这与T是f(x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T/ a

定理3

设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。

证：

设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))

∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。

例1

设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例3

f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。

定理4

设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

证：

设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。

推论　

设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例1

f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

例2

讨论f(X)= 的周期性

解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

又 都是有理数

∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。

同理可证：

⑴f(X)=cos ;

⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。

定理5

设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证

先证充分性：

若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q

由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。

⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，

使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。

令x= 得2cos（a1x+），则 （K∈Z）。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

由⑶、（5得）⑹

∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

判定方法

编辑

⑴若f(X）的定义域有界，[2]

例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。

⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。

例：f(X)=cosx 是非周期函数。

⑶一般用反证法证明。（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。

例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使true ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数

证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2

T2=Lπ（L∈Z+），∴

与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

(1)f(x)为周期函数，所以f(-5)=f(-2)=f(1)=f(4)=0

有因为f(x)为偶函数

所以

f(5)=f(2)=f(1)=f(4)=0

于是，f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的至少有x=1，2，4，5四个解即个数的最小值为4

(2)由奇函数，f(π)=-f(-π),又由周期为2，所以f(-π)=f(-π+2)=f(-π+4)=f(4-π),显然0<4-π<1,所以f(4-π)=5-πf(-π)=-(5-π)=π-5

(3)

f(x-1)=f(-(x-1))=f(-x+1)=g(-x)=-g(x)=-f(x+1)

(这里连续运用了f(x)偶函数，g(x)奇函数的条件)

令x-1=t,所以f(t)=-f(t+2)=f(t+4)=f(t+4+4)==f(t+4n),

于是f(0)=f(0+4498)=f(1992)=993

(4)令t=px，f(t)=f(t-p/2),所以f(x)

的一个周期是p/2

f(px)=f(px-p/2)=f(p(x-1/2)),

令t=x-1/2，则f(p(t+1/2))=f(pt),所以f(px)的一个正周期是1/2