阿基米德性是怎么证明的？

用实数的连续性公理——戴德金定理来证明。

由于阿基米德性质与柯西收敛准则共同反映了实数的连续性，所以可以用实数的连续性公理——戴德金定理来证明二者。其中柯西收敛准则的证明，只通过戴德金定理来证明阿基米德性质。

若0<a≤1，取n=2，则不等式成立。若a>1，根据阿基米德性质，令a=y，1=x，则存在正整数n，使nx>y，即n>a。该推论表示，自然数集N没有上界，即不存在一个数大于所有的自然数。

扩展资料：

阿基米德性的相关要求规定：

1、由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则上面已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。

2、函数列在某个数集上即使处处都收敛（又叫逐点收敛），也不一定在该数集上一致收敛。但在数集上一致收敛时，必定在该数集上逐点收敛。逐点收敛和一致收敛的关系可以参考函数连续和一致连续的关系。

-阿基米德公理

　　定理 “闭区间连续的函数必一致连续” 只在数学类专业的数学分析课程中列出和证明，它的证明需要用到实数的连续性定理（诸如有限覆盖定理、致密性定理、闭区间套定理或柯西收敛准则，等等），不是三两句可以说清楚的，请翻书吧。

函数列{f n （x）}在数集D上一致收敛⇔∀ɛ>0，∃N∈N ，∀n，m>N，∀x∈D，有

|f n （x）-f m （x）|<ɛ

首先,连续＆收敛不是一回事!连续是函数的特征,收敛是级数的特征它们之间要联系的话,应该在函数项级数里面吧!如果函数项级数一致收敛,且每一项都是连续的那么这个级数的和函数连续要一致连续的话,必须在这个收敛区间的端点也连续

证明如下图：

有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理．它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛的应用．有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间．由“无限转化为有限”是质的变化，它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法。

有限覆盖定理是实数定理，还有确界存在定理；单调有界定理；闭区间套定理；聚点定理；柯西收敛准则的逆否命题。这6个定理是等价的，可以互相推出对方，它们都反应了实数的连续性与完备性，在数学分析上有着重要的运用。

尤其是有限覆盖定理，它可以推广到n维空间（此时定理的描述会发生改变，但本质不变），从而定义了紧集和紧空间等。

当然，利用有限覆盖定理，还可以证明闭区间上连续函数的某些性质。在这里作为例子，利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。

已知：f(x)在闭区间[a,b]上有定义，且f(x)连续。求证：f(x)在闭区间[a,b]上一致连续。

数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立

将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：

函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立

此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。

证明举例：

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4++ [(-1)^(n+1)]/n 有极限

证：对于任意的m,n属于正整数，m>n

|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)++[(-1)^(m+1)]/m |

当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)++[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)++1/(m-1)m

=（1/n-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)++[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)++1/(m-2)(m-1)-1/m

=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

综上{xn}收敛，即{xn}存在极限