单调队列是什么

至于 460 的单调队列，就我目前的看法，只能实现 O(NlgN) 的算法（嗯，之前写的所谓 O(N) 算法是有问题的，至少不太好实现）。

我大致说一下，从前往后枚举以每个元素结尾的符合要求的二元组个数，并且不断维护之前的数组。显然，在之前数组的任意位置都不应出现逆序对（逆序对的后一个元素显然是没有前途的）。删去所有逆序对之后得到的就是一个单调非增的序列。于是对于以当前元素结尾的二元组，在之前的队列中从第一个比当前元素大的元素开始直到结尾的所有元素都符合要求，可以二分查找出这个位置，这一步 O(lgN)。之后我们将当前元素插入队列，由于原先队列已经有序，所以只要将队头比当前元素小的删除即可，平摊复杂度 O(1)。

至于 O(N) 算法，后来想了一下，理论上来说插入队列时删去的元素个数（大多数情况下再加1）就是当前元素结尾的二元组个数。但是有一种情况，就是出现与当前元素相等的元素，这种元素不能删除，只能一个一个统计。所以每步 *** 作复杂度就不是 O(1) 了。不过理论上可以再用一些东西标记以实现 O(1)，我没细想了。

这题是单调队列解的啊

我的题解在我的blog上,如果你有兴趣可以去看

算法（以求最大为例）

维护一个单调队列，使队列中的值dat[]从head到tail总是呈降序，同时存储它们的下标pos[]。

条件：

i当队列head端元素的pos[head]比即将入队的a[i]的i-k还小（包括等于）时，head元素出队。(即inc(head))

ii当队列tail端元素的dat[tail]比即将入队的a[i]的值还小时，tail元素出队。(即dec(tail))

输出条件：

当轮到第i个元素入队时[ ( i - k + 1) >= 0 ]，输出队头元素总为此时最大值。

嗯···我学动归不是很久，同样是迷惘过，估计两个月前刚刚开窍……

你看他写的什么无后效性什么最优子结构的就头大，我也头大%…………

动态规划一般解决两类问题，一类是最优化问题,就是问你最大价值最小数什么的，另一类是方案总数问题。

细分的话类型很多，

我见得多的（我是高二学生，目前在筹备NOIP）

（你那题多我就只说名字了）

背包，楼上连9讲都放上来了我就不多说了……

最长不上升不下降子序列问题（比如说潘帕斯雄鹰生日模拟赛的飞翔，就是很经典的不下降的变形）

资源分配问题（比如说橱窗布置，马棚问题，机器分配问题）

区间动归（乘积最大，能量项链等等）

最长公共子序列问题（有个遗传编码好像）；

解决方案树的比如说爬楼梯问题……………………

动态规划的类型很多很多，因为他很灵活的，我们老师曾经给我们找了100个DP方程，但是那都没有用，强记根本记不住，关键是理解。

深入一点的就有DP的优化，时间空间的降维（就是用别的方法去做，或者比如说背包本来是二维的空间优化过该成一维的了），树形DP（这个我也不会）。

（优化里面有个很经典的题《过河》）

我对DP是属于那种突然就开了窍的……别看说“动态规划”什么的唬人，其实就是一个比较一个计算，知道他干什么了题上来就有头绪，方程啊思想啊就有了……

主要也是多看题吧，从简单的开始，理解他的思想……自己写动归的时候注意下面几个问题：

1、大前提是确定你做的是动归题……看得多了也就知道自己面对的是什么类型的题了

2、次前提是想法要对（我做题的时候先想这道题时间空间的维度，然后根据这个去想方程），方程正确，

实在想不起来可以先看题解，去理解人家的思想之后，不要看标程把程序做出来……

3、注意数组不要开的过小，一般都是左右都开大一点，比如他的数据范围是1~100 ，数组就开0~101这个是防越界的，因为很多DP赋初值的时候会用到F[0],F[0,0]

4、初始值要正确，因为很多DP其他地方都是正确的因为初始值赋错了而全部过不了的情况是很常见的……（比如说USACO里面的货币系统）

5、DP循环的范围要正确，一般根据题来判断范围写多少的（比如说橱窗问题，今天下午写这个题因为循环写错了一直AC不了）

USACO里也有很多DP题，可以做……

以上全部手打，希望能对你有所帮助。

我也是正在学习的人，上面的东西不一定全部正确，但是对我而言很受用，也算是我的经验了。希望日后能一起学习交流外加进步喽

QQ：340131980

1 资源问题1

-----机器分配问题

F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2 资源问题2

------01背包问题

F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

3 线性动态规划1

-----朴素最长非降子序列

F:=max{f[j]+1}

4 剖分问题1

-----石子合并

F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

5 剖分问题2

-----多边形剖分

F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]a[j]a);

6 剖分问题3

------乘积最大

f[i,j]:=max(f[k,j-1]mult[k,i]);

7 资源问题3

-----系统可靠性(完全背包)

F[i,j]:=max{f[i-1,j-ck]P[I,x]}

8 贪心的动态规划1

-----快餐问题

F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')p1-(k-k')p2) div p3}

9 贪心的动态规划2

-----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone)

{f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

10 剖分问题4

-----多边形-讨论的动态规划

F[i,j]:=max{正正 f[I,k]f[k+1,j];

负负 g[I,k]f[k+1,j];

正负 g[I,k]f[k+1,j];

负正 f[I,k]g[k+1,j];} g为min

11 树型动态规划1

-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

F[I,j]:=max{f[I,k-1]f[k+1,j]+c[k]}

12 树型动态规划2

-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)

F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分

f[i,j]:=max{f[tl,k]+f[tr,j-k-1]+c}

13 计数问题1

-----砝码称重

f[f[0]+1]=f[j]+kw[j];

(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)

14 递推天地1

------核电站问题

f[-1]:=1; f[0]:=1;

f:=2f[i-1]-f[i-1-m]

15 递推天地2

------数的划分

f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

16 最大子矩阵1

-----一最大01子矩阵

f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;

ans:=maxvalue(f);

17 判定性问题1

-----能否被4整除

g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;

g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

18 判定性问题2

-----能否被k整除

f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n

20 线型动态规划2

-----方块消除游戏

f[i,i-1,0]:=0

f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),

f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}

ans:=f[1,m,0]

21 线型动态规划3

-----最长公共子串，LCS问题

f[i,j]={0(i=0)&(j=0);

f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);

max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

22 最大子矩阵2

-----最大带权01子矩阵O(n^2m)

枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零

23 资源问题4

-----装箱问题(判定性01背包)

f[j]:=(f[j] or f[j-v]);

24 数字三角形1

-----朴素の数字三角形

f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

25 数字三角形2

-----晴天小猪历险记之Hill

同一阶段上暴力动态规划

if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26 双向动态规划1

数字三角形3

-----小胖办证

f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27 数字三角形4

-----过河卒

//边界初始化

f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];

28 数字三角形5

-----朴素的打砖块

f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

29 数字三角形6

-----优化的打砖块

f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30 线性动态规划3

-----打鼹鼠’

f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31 树形动态规划3

-----贪吃的九头龙

32 状态压缩动态规划1

-----炮兵阵地

Max(f[Q(r+1)+k],g[j]+num[k])

If (map and plan[k]=0) and

((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33 递推天地3

-----情书抄写员

f:=f[i-1]+kf[i-2]

34 递推天地4

-----错位排列

f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);

f[n]:=nf[n-1]+(-1)^(n-2);

35 递推天地5

-----直线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+n

:=n(n+1) div 2 + 1;

36 递推天地6

-----折线分平面最大区域数

f[n]:=(n-1)(2n-1)+2n;

37 递推天地7

-----封闭曲线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+2(n-1)

:=sqr(n)-n+2;

38 递推天地8

-----凸多边形分三角形方法数

f[n]:=C(2n-2,n-1) div n;

对于k边形

f[k]:=C(2k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

39 递推天地9

-----Catalan数列一般形式

1,1,2,5,14,42,132

f[n]:=C(2k,k) div (k+1);

40 递推天地10

-----彩灯布置

排列组合中的环形染色问题

f[n]:=f[n-1](m-2)+f[n-2](m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

41 线性动态规划4

-----找数

线性扫描

sum:=f+g[j];

(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)

42 线性动态规划5

-----隐形的翅膀

min:=min{abs(w/w[j]-gold)};

if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

43 剖分问题5

-----最大奖励

f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)i-t

44 最短路1

-----Floyd

f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]s[q[i,j,k],j]/s[i,j];

45 剖分问题6

-----小H的小屋

F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

46 计数问题2

-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）

Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];

F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

47 线性动态规划

------合唱队形

两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点

48 资源问题

------明明的预算方案：加花的动态规划

f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+vp+v[fb]p[fb]+v[fa]p[fa]);

49 资源问题

-----化工场装箱员

50 树形动态规划

-----聚会的快乐

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1]:=sigma(f[t^son,0]);

f[i,0]:=sigma(f[t^son,3]);

51 树形动态规划

-----皇宫看守

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1]:=sigma(f[t^son,0]);

f[i,0]:=sigma(f[t^son,3]);

52 递推天地

-----盒子与球

f[i,1]:=1;

f[i,j]:=j(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

53 双重动态规划

-----有限的基因序列

f:=min{f[j]+1}

g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])

54 最大子矩阵问题

-----居住空间

f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),

min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),

min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),

f[i-1,j-1,k-1]))+1;

55 线性动态规划

------日程安排

f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

56 递推天地

------组合数

C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]

C[I,0]:=1

57 树形动态规划

-----有向树k中值问题

F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58 树形动态规划

-----CTSC 2001选课

F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

59 线性动态规划

-----多重历史

f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60 背包问题(+-1背包问题+回溯)

-----CEOI1998 Substract

f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61 线性动态规划(字符串)

-----NOI 2000 古城之谜

f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62 线性动态规划

-----最少单词个数

f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63 线型动态规划

-----APIO2007 数据备份

状态压缩＋剪掉每个阶段j前j2个状态和j2+200后的状态贪心动态规划

f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);

64 树形动态规划

-----APIO2007 风铃

f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}

g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])

g[l]=g[r]=1 then Halt;

65 地图动态规划

-----NOI 2005 adv19910

F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

66 地图动态规划

-----优化的NOI 2005 adv19910

F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;

67 目标动态规划

-----CEOI98 subtra

F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68 目标动态规划

----- Vijos 1037搭建双塔问题

F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]

69 树形动态规划

-----有线电视网

f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])

leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

70 地图动态规划

-----vijos某题

F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

71 最大子矩阵问题

-----最大字段和问题

f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]

72 最大子矩阵问题

-----最大子立方体问题

枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]

枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵

73 括号序列

-----线型动态规划

f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),

f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

74 棋盘切割

-----线型动态规划

f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],

f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]

min{}}

75 概率动态规划

-----聪聪和可可(NOI2005)

x:=p[p[i,j],j]

f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1

f[I,i]=0

f[x,j]=1

76 概率动态规划

-----血缘关系

F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2

f[I,i]=1

f[I,j]=0(I,j无相同基因)

77 线性动态规划

-----决斗

F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j

78 线性动态规划

-----舞蹈家

F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79 线性动态规划

-----积木游戏

F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

80 树形动态规划（双次记录）

-----NOI2003 逃学的小孩

朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)

每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值

81 树形动态规划(完全二叉树)

-----NOI2006 网络收费

F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费

F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82 树形动态规划

-----IOI2005 河流

F:=max

83 记忆化搜索

-----Vijos某题,忘了

F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)

84 状态压缩动态规划

-----APIO 2007 动物园

f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal

85 树形动态规划

-----访问术馆

f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86 字符串动态规划

-----Ural 1002 Phone

if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);

87 多进程动态规划

-----CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )

Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )

Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88 多进程动态规划

-----Vijos1143 三取方格数

max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);

if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else

if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else

if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

89 线型动态规划

-----IOI 2000 邮局问题

f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

90 线型动态规划

-----Vijos 1198 最佳课题选择

if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));

91 背包问题

----- USACO Raucous Rockers

多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。

F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。

f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92 多进程动态规划

-----巡游加拿大（IOI95、USACO）

d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j

分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解 时间复杂度O(n3)

93 动态规划

-----ZOJ cheese

f[i,j]:=f[i-kkzl[u,1],j-kkzl[u,2]]+a[i-kkzl[u,1],j-kkzl[u,2]]

94 动态规划

-----NOI 2004 berry 线性

F[I,1]:=s

F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95 动态规划

-----NOI 2004 berry 完全无向图

F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

96 动态规划

-----石子合并 四边形不等式优化

m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97 动态规划

-----CEOI 2005 service

（k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}

（k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}

(0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;

ans:=g[n,m,0]。

状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}

其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：

当b+long ≤t时： a’=a; b’=b+long;

当b+long ＞t时： a’=a+1; b’=long;

规划的边界条件：

当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)

98 动态规划

-----AHOI 2006宝库通道

f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}

99 动态规划

-----Travel

A) 费用最少的旅行计划。

设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：

f=f[x]+v, g=g[x]+1

x满足：

1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。

2、 对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：

A g[x] < g[t](f[x] = f[t]时) B f[x] < f[t] (其他情况)

f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。

B) 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。

设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：

g’ = g’[x] + 1, f’ = f’[x] + v

x满足：

1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。

2、 对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：

f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]时

g’[x] < g’[t] 其他情况

f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。

100 动态规划

-----NOI 2007 cash

y:=f[j]/(a[j]c[j]+b[j]);

g:=c[j]ya+yb;

f:=max(f,g)

单调队列是一种严格单调的队列，可以单调递增，也可以单调递减。队首位置保存的是最优解，第二个位置保存的是次优解，ect。。。

单调队列可以有两个 *** 作：

1、插入一个新的元素，该元素从队尾开始向队首进行搜索，找到合适的位置插入之，如果该位置原本有元素，则替换它。

2、在过程中从队首删除不符合当前要求的元素。

单调队列实现起来可简单，可复杂。简单的一个数组，一个head，一个tail指针就搞定。复杂的用双向链表实现。

用处：

1、保存最优解，次优解，ect。

2、利用单调队列对dp方程进行优化，可将O(n)复杂度降至O(1)。也就是说，将原本会超时的N维dp降优化至N-1维，以求通过。这也是我想记录的重点

是不是任何DP都可以利用单调队列进行优化呢？答案是否定的。

记住！只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i] （k<i && g[i]是与k无关的变量）才能用到单调队列进行优化。

优化的对象就是f[k]。

通过例题来加深感受

http://wwwacmuestceducn/problemphppid=1685

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我要长高

Description

韩父有N个儿子，分别是韩一，韩二…韩N。由于韩家演技功底深厚，加上他们间的密切配合，演出获得了巨大成功，票房甚至高达2000万。舟子是名很有威望的公知，可是他表面上两袖清风实则内心阴暗，看到韩家红红火火，嫉妒心遂起，便发微薄调侃韩二们站成一列时身高参差不齐。由于舟子的影响力，随口一句便会造成韩家的巨大损失，具体亏损是这样计算的，韩一，韩二…韩N站成一排，损失即为C（韩i与韩i+1的高度差（1<=i<N））之和，搞不好连女儿都赔了韩父苦苦思索，决定给韩子们内增高（注意韩子们变矮是不科学的只能增高或什么也不做），增高1cm是很容易的，可是增高10cm花费就很大了，对任意韩i，增高Hcm的花费是H^2请你帮助韩父让韩家损失最小。

Input

有若干组数据，一直处理到文件结束。 每组数据第一行为两个整数：韩子数量N(1<=N<=50000)和舟子系数C(1<=C<=100) 接下来N行分别是韩i的高度(1<=hi<=100)。

首先建立方程，很容易想到的是，dp[i][j]表示第 i 个儿子身高为 j 的最低花费。分析题目很容易知道，当前儿子的身高花费只由前一个儿子影响。因此，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + abs(j-k)C + (x[i]-j)(x[i]-j))；其中x[i]是第i个儿子原本的身高

我们分析一下复杂度。

首先有N个儿子，这需要一个循环。再者，每个儿子有0到100的身高，这也需要一维。再再者，0到100的每一个身高都可以有前一位儿子的身高0到100递推而来。

所以朴素算法的时间复杂度是O(n^3)。题目只给两秒，难以接受！

分析方程：

当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要高时，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + jC-kC + X); ( k<=j ) 其中 X=(x[i]-j)(x[i]-j)。

当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要矮时，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] - jC+kC + X); ( k>=j )

对第一个个方程，我们令 f[i-1][k]=dp[i-1][k]-kC, g[i][j]=jC+X; 于是 dp[i][j] = min (f[i-1][k])+ g[i][j]。转化成这样的形式，我们就可以用单调队列进行优化了。

第二个方程同理。

接下来便是如何实现，实现起来有点技巧。具体见下

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还有一个比较适合理解该优化方法的题目是HDU 3401http://acmhdueducn/showproblemphppid=3401

大概题目便是：一个人知道接下来T天的股市行情，想知道最终他能赚到多少钱。

构造状态dp[i][j]表示第i 天拥有 j只股票的时候，赚了多少钱

状态转移有：

1、从前一天不买不卖:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j])

2、从前i-W-1天买进一些股:

dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]-(j-k)AP[i],dp[i][j])

3、从i-W-1天卖掉一些股:

dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+(k-j)BP[i],dp[i][j])

这里需要解释一下为什么只考虑第i-W-1天的买入卖出情况即可。想想看，i-W-2天是不是可以通过不买不卖将自己的最优状态转移到第i-W-1天？以此类推，之前的都不需要考虑了，只考虑都i-W-1天的情况即可。

对买入股票的情况进行分析，转化成适合单调队列优化的方程形式

dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+kAP[i])-jAP[i]。令f[i-W-1][k]=dp[i-W-1][k]+kAP[i]，则dp[i][j]=max(f[i-W-1][k]) - jAP[i]。

这便可以用单调队列进行优化了。卖股的情况类似分析。

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最后再说一个应用，用单调队列来优化多重背包问题 hdu 2191

如果有n个物品，每个物品的价格是w，重量是c，且每个物品的数量是k，那么用这样的一些物品去填满一个容量为m的背包，使得得到的背包价值最大化，这样的问题就是多重背包问题。

对于多重背包的问题，有一种优化的方法是使用二进制优化，这种优化的方法时间复杂度是O(m∑log k[i])，具体可以见

http://wwwcnblogscom/ka200812/archive/2011/08/06/2129505html

而利用单调队列的优化，复杂度是O(mn)

首先，对于第i件物品，如果已知体积为V，价值为W，数量为K，那么可以按照V的余数，将当前的体积J分成V组(0,1,V-1)。

对于任意一组，可以得到转移方程：f[iV+c]=f[kV+c]+(i-k)W，其中c是V组分组中的任意一个

令f[iV+c]=dp[i]，那么就得到dp[i]=dp[k]+(i-k)W (k>=i-K)

将dp[k]-kW看做是优化函数，那么就可以运用单调队列来优化了

一般建议还是给下时间限制和数据范围。

下面是解题思路：

易知f(x)仅和x本身有关，稍微推导可以知道f(x)是x本身除以它的最小素因数（且这个定义下f(1)不存在 ）

考虑我们平时求素数的算法，可以通过改造欧拉筛（埃氏筛也行）来求f(x)：

由于我们是从小以小数筛去大数，则当一个数被筛掉时，筛它的数就是它的最小素因数，这时即可计算得到f(x)。

由于只有一次查询我们不必记录每个f(x)，记录最大值每次算出f(x)时更新即可。

复杂度：时间O(r) 空间O(r)

拓展：

考虑当区间里如果不是只有一个数字，则一定有偶数，最小素因数为2，而奇数的最小素因数不小于3。当r为偶数，f(r)>f(r-2)>，区间内奇数x显然f(x)<=x/3<r/2，则f(r)=r/2即为最大的f(x)；当r为奇数，易知f(r-1)>f(r-3)>，有f(r)<=r/3，而f(r-1)=(r-1)/2，当r>=3时f(r-1)>=f(r)同理易证f(r)大于区间内所有奇数x的f(x)，则f(r-1)=(r-1)/2即为最大的f(x)，r<3时显然答案是1。

至于剩下一个数的情况试除法找最小素因数即可。

复杂度：最坏时间O(sqrt(r)) 空间O(1) 随机数据期望O(1) 空间O(1)

拓展2（其实是刚才我读错题了）：

如果[l,r]不是自然数上的连续子串而是给定的长度为n，不超过m的序列，且有t组查询，可以参考如下思路：

用上面的改造筛法求出每个f(x)：m较小筛出m内f(x)直接建立数组映射即可；m太大也可筛出sqrt(m)内素数再试除法（O(n)遍历一遍序列找出最大值代替m然后平衡规划思想（根据m大小选择不同算法）可优化）

剩下的寻找最大值的部分是一个标准的RMQ问题，分块、线段树、单调队列、ST表等，解法很多。

复杂度：

直接映射+ST表：时间O(m+nlogn+t) 空间O(m+nlogn)

试除+ST表：时间O(sqrt(m)+sqrt(m)n+nlogn+t) 空间O(sqrt(m)+nlogn)