请问函数的定义域是什么?

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值集合

1,对于函数是整式结构,没有特殊说明,定义域为R

例：y=X＾2+3X-5,定义域为R

2,分式结构,分母不为零

例:y=(3x+5)/(x＾2-1)

函数要有意义则x＾2-1≠0∴x≠±1

∴定义域为{x|x∈R,且x≠±1｝

3,开偶次方根被开方数大于等于0

例:y=√(x＾2-x-2)

函数要有意义则x＾2-x-2≥0∴x≥2或x≤-1

∴定义域为{x|x≥2或x≤-1｝

再来个综合的

例:y==[√(x＾2-x-2)]/(x＾2-1)

函数要有意义则x＾2-x-2≥0 ① x＾2-1≠0②

∴定义域为{x|x≥2或x＜-1｝(对两个不等式求交集)

4,对数函数要注意真数大于0,底数大于0且不等到于1这些都是有意义的条件

例:y=log2 (x＾2-x-2) (x＾2-x-2是真数,2是底数)

函数要有意义则x＾2-x-2＞0

所以定义域为{x|x＞2或x＜-1｝

若底数含有自变量则底数大于0且不等到于1

5,若是指数为0函数,底数不能为0

例;y=(2x-1)＾0

则定义域为{x|x≠1/2｝

总之定义域是函数有意义的自变的范围,若是实际应用题还要符合实际意义

函数的定义域表示方法有不等式、区间、集合等三种方法。

例如：y=√(1-x)的定义域可表示为：1）x≤1；2）x∈(-∞,1]；3）{x|x≤1}。

定义域

（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

扩展资料：

函数值域

值域定义

函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；

（2）图象法（数形结合）

（3）函数单调性法，

（4）配方法；

（5）换元法；

（6）反函数法（逆求法）；

（7）判别式法；

（8）复合函数法；

（9）三角代换法；

（10）基本不等式法等。

求函数定义域的方法：

1、分式的分母不等于零。

2、偶次方根的被开方数大于等于零。

3、对数的真数大于零。

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1。

5、三角函数正切函数中；余切函数中。

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

常见题型。

常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题。

如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数等等。

1、根号下大于等于0。

2、分母不为0。

3、对数函数的真数大于0。

4、三角函数中的正切和余切的范围（如tanx不能取x=90度等）。

5、三角函数正切函数中；余切函数中。

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

求函数值域的几种常见方法

1直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax

b(a

0)的定义域为r，值域为r；

反比例函数

的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；

二次函数的定义域为r

当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b²)/4a}；

当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b²)/4a}

例1．求下列函数的值域①

y=3x

2(-1≤x≤1)

解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤

3，∴-1≤3x

2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]

②y=x²-2x

3∵1>0∴(4ac-b²)/4a=[4×1×3-（-2）²]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2}2．

二次函数在定区间上的值域(最值)：

①f(x)=x²-6x

12

x∈[4,6]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3

二次项系数1>0所以f(x)=x²-6x

12

在x∈[4,6]是增函数

所以f(x)min=f(4)=4

f(x)max=f(6)=12

f(x)的值域是[4,12]

②f(x)=x²-6x

12

x∈[0,5]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3

二次项系数1>0所以f(x)=x²-6x

12

在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数

所以f(x)min=f(3)=3

而f(0)=12

f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12

f(x)的值域是[3,12]

3观察法求y=(√x)

1的值域

∵√x≥0

∴√x

1≥1∴y=(√x)

1的值域是[1,

∞)

4配方法求y=√(x²-6x-5)的值域

∵-x²-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]

∵-x²-6x-5=-(x

3)²

4因为-5≤x≤-1

所以-2≤x

3≤2

所以0≤(x

3)²≤4所以-4≤-(x

3)²≤0

终于得到0≤-(x

3)²

4≤4所以0≤√(x²-6x-5)≤2

所以y=√(x²-6x-5)的值域是[0,2]

5图像法求y=｜x

3｜

｜x-5｜的值域

解：因为y=-2x

2(x<-3)

y=8

(-3≤x<5)

y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=｜x

3｜

｜x-5｜的值域是[8,＋∞)

6利用有界性求y=3^x/（1

3^x）的值域

解y=3^x/（1

3^x）两边同乘以1

3^x

所以

3^x=y（1

3^x)3^x=y

y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)

因为3^x>0

所以

y/(1-y)>0

解得

0<y<1值域为（0，1）

7判别式法求y=1/(2x²-3x

1)

解

∵2x²-3x

1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈r,且x≠1,

x≠1/2}

将函数变形可得2yx²-3yx

y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解δ=9y²-8y(y-1)≥0

所以y≤-8或y≥0当y=0时，方程无解，身体y=0不是原函数的值

所以y=1/(2x²-3x

1)的值域是(-∞,-8]∪(0,

∞)

8换元法求y=2x－√（x-1)的值域

解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t²

1

所以y=2(t²

1)-t=2t²-t

2=2(t-1/4)²

15/8

因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,

∞)

值域三角函数法、基本不等式法、导数法分别是高一下册，高二上册，高三的内容，在这里就不例举了

常见的用解析式表示的函数 的定义域可以归纳如下：

（1）若 是整式，则 的定义域是

（2）若 是分式，则要求分母不为零

（3）若 ，则要求 。

（4）当 为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合;如 ，则要求

（5） 的定义域是

（6）若同时出现上述情况，则先分别找出各自的定义域，然后求交集

（7）复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集

（8）对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约

（9）求含参数的函数的定义域时应进行分类讨论

（10）抽象函数的定义域

对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：

① 的定义域为 ，指的是 的取值范围为 ，而不是 的取值范围为

②若已知 定义域为 ，求函数 的定义域，由不等式 解出即可；

若已知 的定义域为 ，求 的定义域，相当于 时，求 的值域（即 的定义域）

定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1），分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3），对数中的真数部分大于0。（4），指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）。y=tanx中x≠kπ+π/2,

y=cotx中x≠kπ等等。

值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法