高等数学问题。不连续的函数，比如有跳跃间断点，它是否可积？ 如果它可积，那它的变上限积分是否连续？

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。

所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。

函数可积的充分条件：

1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

可积函数的有界

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。

若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。

您好这道题由我为您解答 判断函数是否连续方法：求出某点左右极限，如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则函数在此点连续，如果任意点在考察的范围内都满足这个条件，则该函数是连续的。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。如果对我的回答感到满意请你为我点个赞 谢谢

连续性的条件。

1、在x=x0处有定义。本题中x=1时，f(1)=1-1=0，满足。

2、当x->x0+和x0-时极限值相等。

x->1-时，limf(x)=x-1=1-1=0，

limf(x)=f(1)

x->1+时，limf(x)=2-x=2-1=1，

limf(x)≠f(1)

因为左右侧极限不相等，

所以不连续，选D。

答案：

解析：

由连续函数的定义知道，函数f(x)在点x0处连续，必须同时满足(1)函数f(x)在x=x0处有定义，(2)这三个条件，否则函数f(x)在x0处不连续，也就是x0为函数f(x)的不连续点．由于初等函数在定义域内连续，因此初等函数的不连续点一定不在定义域内．函数的定义域为{x|x≠0且x≠1}∴　x=0和x=1是函数的不连续点．

提示：

由基本初等函数(高中阶段所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数)和常数经过有限次四则运算和有限次函数的复合而得到的函数，统称为初等函数．初等函数在定义域内都是连续的，所以初等函数的不连续点一定在定义域之外．函数与是两个不同的函数，前者的定义域是{x|x≠1且x≠2}，后者的定义域是{x|x≠2}，因此，不可将原来函数表达式约分化简后再求不连续点．