排列组合里面隔板法是什么意思怎么用

在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。#160

例1.#160求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。#160

［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明。#160

技巧一：添加球数用隔板法。#160#160#160#160#160#160#160#160#160#160#160#160#160#160○#160○#160○∣○#160○#160○∣○#160○#160○#160○#160

例2.#160求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。#160

［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。#160

［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。#160技巧二：减少球数用隔板法：#160

例3.#160将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。#160

解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，

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由例1知方法有C133=286（种）。#160

解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。#160［点评］#160

两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。#160技巧三：先后插入用隔板法。#160

例4.#160为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？#160［分析］#160

记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例2知有C51种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有C61种方法。故由分步计数原理知，方法共有C51*#160C61#160(种)。#160［点评］#160

对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。

举例：将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？用隔板法解决：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理；

人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法。

扩展资料

水果分篮问题：

例：有广西橘子，烟台苹果，莱阳梨若干，从中随意取出四个，问共有多少种不同取法？

问题等价于将四个水果放入三个不同的水果篮，且允许篮子为空，{这里是逆向思维逻辑}将4+3=7个水果分为3个组，分组需2个隔板，隔板共有6个放置位置，故有C（4+2， 2）个选择，即15种。

参考资料来源：百度百科——隔板法

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