如何应用matlab进行fft分析

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换

到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如

果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号

分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱

提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去

做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用

多少点来做FFT。

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样

定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就

不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，

经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT

运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT

之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率

点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始

信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT

的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A

的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量

的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个

点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也

可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示

采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率

依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果

采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒

时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时

间的信号并做FFT，则结果可以分析到05Hz。如果要提高频率

分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和

采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是

An=根号aa+bb，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，

就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：

An/(N/2)cos(2piFnt+Pn)，即2An/Ncos(2piFnt+Pn)。

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，

即小于采样频率一半的结果。

好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的

信号来做说明。

假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、

相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、

相位为90度、幅度为15V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3cos(2pi50t-pi30/180)+15cos(2pi75t+pi90/180)

式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。

我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。

按照我们上面的分析，Fn=(n-1)Fs/N，我们可以知道，每两个

点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号

有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、

第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？

我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

图1 FFT结果

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有

比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

1点： 512+0i

2点： -26195E-14 - 14162E-13i

3点： -28586E-14 - 11898E-13i

50点：-62076E-13 - 21713E-12i

51点：33255 - 192i

52点：-16707E-12 - 15241E-12i

75点：-22199E-13 -10076E-12i

76点：34315E-12 + 192i

77点：-30263E-14 +75609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值

都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。

接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，

结果如下：

1点： 512

51点：384

76点：192

按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；

50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的

幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=15。可见，从频谱分析出来

的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管

它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 33255)=-05236,

结果是弧度，换算为角度就是180(-05236)/pi=-300001。再

计算75Hz信号的相位，atan2(192, 34315E-12)=15708弧度，

换算成角度就是18015708/pi=900002。可见，相位也是对的。

根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达

式了，它就是我们开始提供的信号。

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某

一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)Fs/N；该点的模值

除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以

N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算

可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角

度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒

的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，

这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成

分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是

采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度

达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。

具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]

close all; %先关闭所有

Adc=2; %直流分量幅度

A1=3; %频率F1信号的幅度

A2=15; %频率F2信号的幅度

F1=50; %信号1频率(Hz)

F2=75; %信号2频率(Hz)

Fs=256; %采样频率(Hz)

P1=-30; %信号1相位(度)

P2=90; %信号相位(度)

N=256; %采样点数

t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号

S=Adc+A1cos(2piF1t+piP1/180)+A2cos(2piF2t+piP2/180);

%显示原始信号

plot(S);

title('原始信号');

figure;

Y = fft(S,N); %做FFT变换

Ayy = (abs(Y)); %取模

plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果

title('FFT 模值');

figure;

Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度

Ayy(1)=Ayy(1)/2;

F=([1:N]-1)Fs/N; %换算成实际的频率值

plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果

title('幅度-频率曲线图');

figure;

Pyy=[1:N/2];

for i="1:N/2"

Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位

Pyy(i)=Pyy(i)180/pi; %换算为角度

end;

plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图

title('相位-频率曲线图');

看完这个你就明白谐波分析了。

在图象处理的广泛应用领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，具体表现在包括图象分析、图象增强及图象压缩等方面。

fftshift的作用正是让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称。因为直接用fft得出的数据与频率不是对应的，fftshift可以纠正过来。

假设f（x,y）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：

p=0,1…M-1 q=0,1…N-1 (1)

或 p=0,1…M-1 q=0,1…N-1 （2）

离散傅立叶反变换的定义如下：

m=0,1…M-1 n=0,1…N-1（3）

F（p,q）称为f（m,n）的离散傅立叶变换系数。这个式子表明，函数f（m,n）可以用无数个不同频率的复指数信号和表示，而在频率（w1，w2）处的复指数信号的幅度和相位是F（w1，w2）。

2、MATLAB提供的快速傅立叶变换函数

（1）fft2

fft2函数用于计算二维快速傅立叶变换，其语法格式为：

B = fft2(I)

B = fft2(I)返回图象I的二维fft变换矩阵，输入图象I和输出图象B大小相同。

例如，计算图象的二维傅立叶变换，并显示其幅值的结果，如图所示，其命令格式如下

load imdemos saturn2

imshow(saturn2)

B = fftshift(fft2(saturn2));

imshow(log(abs(B)),[],'notruesize')

（2）fftshift

MATLAB提供的fftshift函数用于将变换后的图象频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为：

B = fftshift(I)

对于矩阵I，B = fftshift(I)将I的一、三象限和二、四象限进行互换。

（2）ifft2

ifft2函数用于计算图象的二维傅立叶反变换，其语法格式为：

B = ifft2(I)

B = ifft2(A)返回图象I的二维傅立叶反变换矩阵，输入图象I和输出图象B大小相同。其语法格式含义与fft2函数的语法格式相同，可以参考fft2函数的说明。

如果信号是二维的，用上面的函数即可！直接调用。

如果信号是一维的，给你下面的例子，你应该能明白！

clear

fs=100;N=128; %采样频率和数据点数

n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列

x=05sin(2pi15t)+2sin(2pi40t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换，逆变换函数为ifft

mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅

f=nfs/N; %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

x=05sin(2pi15t)+2sin(2pi40t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y); %求取Fourier变换的振幅

f=nfs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

subplot(2,2,4)

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

fft算法是频谱分析，输入电流或电压信号首先要使用模-数转换电路，根据精度和速度的不同要求，采用的电路也差别很大。fft的输入不外乎就是一串采样数据，以及这些数据的采样时间间隔是多少，这个你需要自己去分析或者代码中有注解就更好。fft最终可能会输出一个数组作为它的分析结果，你可以通过串口输入到电脑中，电脑通过串口接收到单片机发过来的数据以后，就可以通过一些数据分析工具把曲线显示出来。我见过用fft算法配合高速采样电路来分析钢琴音准和音色(即频谱)的实际产品，价格很贵的哦。

此外还要谈一下采样率Fs的选取。

在我的数值计算中，采样率就是时间步Ts的倒数啦，一般是很大（比如我这里是20几万）

而采样率的选取其实是有规则的，即 香浓—奈魁斯特采样定理 ：

这里做了几个例子来说明这一问题

用的这个网页的例子： >

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