科赫雪花曲线是什么雪花曲线是什么

Koch雪花可由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去即得Koch雪花。Koch雪花是分形几何中的一个典型范例，从几何的角度讲，其最显著的特点是其具有自相似性，即比如你用放大镜去看每一个细小的部分，它都与整体的结构是完全相似的，且无论“放大镜”的精度有多高，这种局部与整体的相似性都是可以保持的。从分析的角度讲，这种曲线是处处连续（它的外围实际上连成一条线）但又处处不可微（因处处都存在“尖点”，不是光滑曲线）。从维数的角度讲，它既不是一维的（而传统意义上的“线”都是一维的），也不是二维的（因“面”才是二维的，而显然它并没有布满一个面，它只是一条线），而是介于一维和二维之间，即是具有分数维的一种图形。

[1]科赫雪花曲线是分形曲线,随着N增大,长度趋向于无穷大

周长和面积只有给出具体的N才有意义,

我下面给出它的计算式

边长通项an=a(1/3)^(n-1)

边数通项bn=3(1/4)^(n-1)

面积通项S(n+1)=S(n)+6(1/4)√3an^2 S1=(1/4)√3a1^2

周长通项c(n)=anbn=3a(4/3)^n

[2]我这里只有自己编写的现成的MATLAB生成曲线的程序,

你可以参考一下,不知道可以不可以

毕竟通过上面我给出的通项公式，可以直观的得到结论（有我给你推倒的通项公式，即时自己计算问题应该不大了 呵呵）。

PS：我的MATLAB程序之一（我当初编写的程序有很多，这是其中一个）

x1=[1 2 25 3 4];

y1=[0 0 0 0 0];

h1=plot(x1,y1,'linewidth',2,'erasemode','xor');

axis equal

axis off

for g=linspace(0,1,40)sin(pi/3);

y1(3)=g;

set(h1,'ydata',y1);

drawnow;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x2=x1(1);

y2=y1(1);

for k=2:length(x1);

t=linspace(x1(k-1),x1(k),4) ;

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

x2=[x2,tt];

t=linspace(y1(k-1),y1(k),4);

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

y2=[y2,tt];

end

A=angle((y2(4:4:end)-y2(2:4:end))i+(x2(4:4:end)-x2(2:4:end)));

for g=linspace(0,1,40)sin(pi/3)/3;

y2(3:4:end)=(y2(4:4:end)+y2(2:4:end))/2+imag(gexp(i(A+pi/2)));

x2(3:4:end)=(x2(4:4:end)+x2(2:4:end))/2+real(gexp(i(A+pi/2))) ;

set(h1,'ydata',y2,'xdata',x2);

drawnow;

end

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x3=x2(1);

y3=y2(1);

for k=2:length(x2);

t=linspace(x2(k-1),x2(k),4);

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

x3=[x3,tt];

t=linspace(y2(k-1),y2(k),4);

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

y3=[y3,tt];

end

A=angle((y3(4:4:end)-y3(2:4:end))i+(x3(4:4:end)-x3(2:4:end)));

for g=linspace(0,1,40)sin(pi/3)/9;

y3(3:4:end)=(y3(4:4:end)+y3(2:4:end))/2+imag(gexp(i(A+pi/2)));

x3(3:4:end)=(x3(4:4:end)+x3(2:4:end))/2+real(gexp(i(A+pi/2)));

set(h1,'ydata',y3,'xdata',x3);

drawnow;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x4=x3(1);

y4=y3(1);

for k=2:length(x3);

t=linspace(x3(k-1),x3(k),4);

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

x4=[x4,tt];

t=linspace(y3(k-1),y3(k),4);

tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];

y4=[y4,tt];

end

A=angle((y4(4:4:end)-y4(2:4:end))i+(x4(4:4:end)-x4(2:4:end)));

for g=linspace(0,1,40)sin(pi/3)/27;

y4(3:4:end)=(y4(4:4:end)+y4(2:4:end))/2+imag(gexp(i(A+pi/2)));

x4(3:4:end)=(x4(4:4:end)+x4(2:4:end))/2+real(gexp(i(A+pi/2)));

set(h1,'ydata',y4,'xdata',x4);

drawnow;

end

1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；

2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；

3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

和皮亚诺类似：

1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的

2、总长度趋向无穷大

3、曲线上任意两点距离无穷大

4、面积是有限的

5、产生一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界，包围着有限的面积。（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）

Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的封闭曲线会包围着无穷大的面积吗

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