matlab求解线性方程组AX=B的形式，可以求逆得到结果，为什么要采用各种数值迭代方法如Jacobi迭代等方法

原因是: 1) 有些情况你并不能得到矩阵A, 而只有一个程序告诉你 矩阵向量乘 Ab的值

2) 大型稀疏矩阵 (例如A是10^810^8, 但是A里面非零元素只有10^5), 而A^-1 并不稀疏,

运算量和存储量 极大

解线性方程组方法很多很多, 你提到的是最近本的 消去(求逆), 和 不动点迭代(Jacobi)

理论上就是求逆, 数值上还有无数的问题

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数值分析 中南大学 韩旭里 126讲|线性方程组的迭代解法（一）mp4|线性方程组的迭代解法（五）mp4|线性方程组的迭代解法（四）mp4|线性方程组的迭代解法（三）mp4|线性方程组的迭代解法（七）mp4|线性方程组的迭代解法（六）mp4|线性方程组的迭代解法（二）mp4|数值积分与数值微分（一）mp4|数值积分与数值微分（五）mp4|数值积分与数值微分（四）mp4|数值积分与数值微分（十一）mp4|数值积分与数值微分（十五）mp4|数值积分与数值微分（十四）mp4|数值积分与数值微分（十三）mp4 

基于双边Jacobi旋转的奇异值分解算法

V是A的右奇异向量，也是的特征向量;

U是A的左奇异向量，也是的特征向量。

特别地，当A是对称矩阵的时候，=，即U=V，U的列向量不仅是的特征向量，也是A的特征向量。这一点在主成分分析中会用到。

对于正定的对称矩阵，奇异值等于特征值，奇异向量等于特征向量。

U、V都是正交矩阵，满足矩阵的转置即为矩阵的逆。

双边Jacobi方法本来是用来求解对称矩阵的特征值和特征向量的，由于就是对称矩阵，求出的特征向量就求出了A的右奇异值，的特征值开方后就是A的奇异值。

一个Jacobi旋转矩阵J形如：

它就是在一个单位矩阵的基础上改变p行q行p列q列四个交点上的值，J矩阵是一个标准正交矩阵。

当我们要对H和p列和q列进行正交变换时，就对H施行：

在一次迭代过程当中需要对A的任意两列进行一次正交变换，迭代多次等效于施行

迭代的终止条件是为对角矩阵，即原矩阵H进过多次的双边Jacobi旋转后非对角线元素全部变成了0（实现计算当中不可能真的变为0，只要小于一个很小的数就可以认为是0了）。

每一个J都是标准正交阵，所以也是标准正交阵，记为V，则是，则。从此式也可以看出对称矩阵的左奇异向量和右奇异向量是相等的。V也是H的特征向量。

当特征值是0时，对应的Ui和Vi不用求，我们只需要U和V的前r列就可以恢复矩阵A了（r是非0奇异值的个数），这也正是奇异值分解可以进行数据压缩的原因。

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基于单边Jacobi旋转的SVD算法

相对于双边，单边的计算量小，并且容易并行实现。

单边Jacobi方法直接对原矩阵A进行单边正交旋转，A可以是任意矩阵。

同样每一轮的迭代都要使A的任意两列都正交一次，迭代退出的条件是B的任意两列都正交。

单边Jacobi旋转有这么一个性质：旋转前若，则旋转后依然是；反之亦然。

把矩阵B每列的模长提取出来，，把记为V，则。

迭代法是数值计算中的内容，迭代法也称为逐次逼近法。他是求一般的方程如f(x)=0以及有n个未知量的方程组如fi(x1,x2,x3,x4,xn)的近似解得普片适用方法，这里的近似解比一般方法要精确，比如说二分法或者试探法，要是用这些方法得到的解只是大体范围，要是想得到比较精确地结果的话，就需要很多次的计算，这样计算量很大。所以说迭代法可以使得到的答案更精确，而且计算量也比一般方法少。

雅可比法和高斯-赛德尔迭代法则是解线性方程组的，而且适合用于求解系数矩阵很多元素都是零的线性代数方程组。而雅可比法和高斯-赛德尔迭代法的区别就是前一个是同时代换，后一个是逐个代换。

具体的计算还是比较麻烦的，而且不是很容易懂的，上课一定不能走神，要不就完了！呵呵呵，你可以看看《数值计算》这本书。里面有更详细的解释的，希望对你有帮助。

你所说的是高斯消去法吧！这里主要就是讲究一个选取主元的方法问题了，他的意义主要在于减少误差，因为主元选的比较小的话可能会产生较大的误差，一般都选一行或者一列中绝对值大的那个，具体的要慢慢想的，很耗时间的，不过比较有意思，呵呵

数学建模

实验报告

姓名：学院： 专业班级：

学号：

数学建模实验报告（一）

——用最小二乘法进行数据拟合

一．实验目的：

1 学会用最小二乘法进行数据拟合。

2 熟悉掌握matlab 软件的文件 *** 作和命令环境。 3 掌握数据可视化的基本 *** 作步骤。 4 通过matlab 绘制二维图形以及三维图形。

二．实验任务：

来自课本

64页习题：

2

用最小二乘法求一形如y=a+bx 的多项式，使之与下列数据拟合：

三．实验过程：

1 实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根

据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。即要求出二次多项式: y=a+bx 的系数。

2

2．程序：

x=[19 25 31 38 44] y=[190 323 490 733 978] ab=y/[ones(size(x));x^2]; a=ab(1),b=ab(2) xx=19:44;

plot(xx,a+bxx^2,x,y,"")

3 上机调试

得到结果如下：

x = 19 25 31 38 44

y=190000 323000 490000 733000

a = 09726

b = 00500 图形：

978000

四． 心得体会

通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二

乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab 软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。

数学建模实验报告（二）

——用Newton 法求方程的解

一． 实验目的

1 掌握Newton 法求方程的解的原理和方法。 2 利用Matlab 进行编程求近似解。

二． 实验任务

来自课本109页习题4-2：

用Newton 法求f(x)=x-cosx=0的近似解

三． 实验过程

1 实验原理：

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。

2 程序设计：

function y=nd(x)

y= x-cosx

function y=nd0(x) y=1+sinx 主程序

x=0; %迭代初值 i=0; %迭代次数计数 while i

y=x-nd(x)/nd0(x); %牛顿迭代格式 if abs(y-x)>10^(-5); %收敛判断 x=y; else peak end i=i+1; end

fprintf("\n%s%4f \t%s%d","x=",x,"i=",i) %输出结果

四． 实验心得

通过这次实验我掌握了Newton 法求解方程的方法。并通过

编程进一步熟悉了Matlab 的使用方法。在实验过程中仍然遇到了不少的困难，比如说编程调试部分，需要有很大的耐心去修改，再调试。而在这一步步的改进过程中发现自己的进步。

数学建模实验报告（三）

——用Jacobi 迭代法求解线性方程组

一． 实验目的

2 掌握Jacobi 迭代法求解线性方程组的方法 3 学会用Matlab 编程求解方程

二． 实验任务

课本155页习题1： 性方程组：

取初始向量x=(0, 0, 0) ，用Jacobi 迭代法求解线

t

x +2x -2x =1x +x +x =3 2x +2x +x =5

11

2

3

2

3

1

2

3

三． 实验过程

1 方法原理：迭代法就是用某种极限过程逐渐逼近线性方程组精确解的方法。迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计

算新的近似解的规则。

将方程组(413)

中系数矩阵

(721)

分解为

其中为A 的对角矩阵，

(722)

-L,-U 分别为A 的严格下三角矩阵与A 的严格上三角矩阵 假定

(i=1,2,…，n) ，则D 非奇异 取M=D,N=L+U,则得

1

1称为解方程组的Jacobi 迭代法，简称J 法 计算时可写成如下分量形式：

2 程序：

a=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] d=[1;3;5]

x=[0;0;0]; %初始向量

stop=10e-4 %迭代的精度

L=-tril(a,-1)

U=-triu(a,1)

D=inv(diag(diag(a)))

X=D(L+U)x+Dd; n=1;

while norm(X-x,inf)>=stop

x=X;

X=D(L+U)x+Dd; n=n+1; end X

% J迭代公式 % 时迭代中止否则继续

n

3．上机调试：

得实验结果：

a =

1 2 -2 1 1 2 2 d =

1 3 5

stop =

10000e-004 L =

0 0 -1 0 -2 -2 U =

0 -2 0 0 0 0 D =

1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 -1 0 0 0 1

X =

1

1

1

n =

4

四． 实验体会

通过本次实验，我掌握了高斯-赛德尔迭代法，雅可比迭代法求解线性方程的实验方法。此实验报告中只列出了雅可比迭代法的求解程序。但从实验结果来看，高斯-赛德尔迭代法要比雅可比迭代公式的收敛速度快，可见雅可比迭代法并不是一种理想的求解方法，但在一些简单地线性方程中，雅可比迭代法还是比较简单方便的。关于程序的编写也是翻阅了大量资料才得出的，其中犯了不少的语法错误，可见我对matlab 软件还不是很熟练，得加强学习。

哈密尔顿-雅戈比方程（Hamilton-Jacobi equation，HJE） ，是分析力学中用以求解正则方程的一个偏微分方程，是经典力学的一种表述。哈密尔顿-雅戈比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。在物理学里，哈密尔顿-雅戈比方程（Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是经典力学的一种表述。哈密尔顿-雅戈比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密尔顿-雅戈比方程在辨明守恒的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一种修正。两者的收敛速度在不同条件下不同，不能直接比较，即使在同样条件下，有可能对于同样的系数矩阵出现一种方法收敛，一种方法发散。

计算谱半径，普半径小于1，则收敛，否则不收敛。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的最大特征值。

也可用列范数或行范数判断,列范数或者行范数小于1，则收敛。但范数大于1时，不能说明其发散，还要通过计算谱半径来确定其收敛性。

扩展资料：

在数值线性代数中是用于求解线性方程组的迭代方法。 它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（Philipp Ludwig von Seidel）命名，与雅可比方法相似。

虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。

参考资料来源：百度百科-高斯-赛德尔迭代

Hamilton-Jacobi equation

哈密顿-雅可比方程;

例句

1 On the Classical Limit of the Quantum Mechanics Based on the Hamilton-Jacobi Equation

从哈密顿-雅可毕方程看量子力学的经典极限

2 The variations in Hamilton-Jacobi equation in curved spacetime are separated by means of tortoise coordinate transform

适当地采用乌龟坐标变换，便可对弯曲时空中的Hamilton－Jacobi方程进行变量分离。

3 The minimum time function is lower semicontinuous and it is a viscosity supersolution to the contingent Hamilton-Jacobi equation

极小时间函数是下半连续的且是相依Hamilton-Jacobi方程的粘性上解

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