解释下“梯度”“散度”和“旋度”，浅显易懂些，谢谢

梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。
梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。

三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。
对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下 *** 作：
1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；
2、将这个值赋予这个点
对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。
旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解
旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场。
旋度计算是两个向量之间的“叉乘”，其结果是矢量。其方向满足右手法则。

你可能问错了，楼上也说错了。
delta是矢量算符，是把
（d/dx，d/dy，d/dz）看做矢量的，而不是说d/dx+d/dy+d/dz是矢量。
把这个看做矢量，跟一个正常的矢量，（Vx,Vy,Vz）点乘：
（d/dx，d/dy，d/dz）点乘（Vx,Vy,Vz）= d/dx Vx + d/dy Vy + d/dz Vz
看，这就像是矢量点乘了。
矢量算符意义深远，他们就像是矢量一样运算，也兼有微分的作用
至于散度的物理，本来自电动力学，不是来自流体力学。如果用流体力学解释：
一个正散度，就是一个水龙头，往外冒水，负散度，就是下水池，往外漏水。

1
那个向量我用R表示了，要不然不好区分。
grad(e^r)=((e^r)'x , (e^r)'y, (e^r)'z)=((e^r)(r'x), (e^r)(r'y), (e^r)(r'z))=((e^r)(x/r), (e^r)(y/r), (e^r)(z/r))
div(R)=3
根据一个标量函数和一个矢量函数的积，求散度的公式
div[(e^r)R]=grad(e^r)R+(e^r)div(R)
=(e^r)(x^2/r)+(e^r)(y^2/r)+(e^r)(z^2/r)+3e^r
=e^r(x^2/r+y^2/r+z^2/r)=r(e^r)+3e^r
=(r+3)e^r
2
grad(1/r^3)=((1/r^3)'x , (1/r^3)'y, (1/r^3)'z)
=((-3/r^4)(r'x), (-3/r^4)(r'y), (-3/r^4)(r'z))
=((-3/r^4)(x/r), (-3/r^4)(y/r), (-3/r^4)(z/r))
=(-3x/r^5, -3y/r^5, -3z/r^5)
div(R)=3
所以
div(R/r^3)=grad(1/r^3)R+(1/r^3)div(R)
=(-3/r^5)(x^2+y^2+z^2)+3/r^3
=(-3/r^5)(r^2)+3/r^3
=0

散度和旋度分别是：

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

旋度的物理意义

设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小一般说来，这两者的比值有一极限值，即记作单位面积平均环流的极限。

它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则。旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。磁场是有旋场，静电场是无旋场。

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