MATLAB--数字图像处理 频域图像分析

频域图像分析

1.熟悉MATLAB软件的使用。

2.掌握频域图像分析的原理及数学运算。

1.自选一幅图像，并对其分别添加一定强度的周期噪声和高斯噪声，然后分别采用高斯模板、中值滤波的时域方法以及傅里叶变换和小波变换的频率滤波方法对该含噪图像进行去噪处理，并基于PSNR值和视觉效果这两个指标来比较这四种滤波方法对两种不同噪声的去噪能力。

2.编写一个程序，要求实现下列算法:首先将阁像分割为8x8的子图像，对每个予图像进行FFT.对每个了图像中的64个系数。按照每个系数的方差来排序后，舍去小的变换系数，只保留16个系数，实现4: I的图像压缩。

3.给定一幅行和列都为2的整数次幕图像，用Haar小波基函数对其进行二维小波变换，试着将最低尺度近似分量置零再反变换，结果是什么?如果把垂直方向的细节分量置零，反变换后结果又是什么呢?试解释一下原因。

4.基于小波变换对图像进行不同压缩比的压缩。在同压缩比情况下，对于基于小波变换和基于傅里叶变换的压缩结果，比较=二者保留原图像能里百分比情况。

Win10 64位电脑

MATLAB R2017a

1.傅里叶变换

从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。

傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，通常用一个二维矩阵表示空间上各点，记为z=f(x,y)。又因空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就必须由梯度来表示，这样我们才能通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

2.小波变换

小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节带噪声信号经过预处理，然后利用小波变换把信号分解到各尺度中，在每一尺度下把属于噪声的小波系数去掉，保留并增强属于信号的小波系数，最后再经过小波逆变换回复检测信号。

小波变换在去除噪声时可提取并保存对视觉起主要作用的边缘信息，而传统的基于傅里叶变换去除噪声的方法在去除噪声和边沿保持上存在着矛盾，因为傅里叶变换方法在时域不能局部化，难以检测到局域突变信号，在去除噪声的同时，也损失了图像边沿信息。由此可知，与傅里叶变换去除噪声的方法相比较，小波变换法去除噪声具有明显的性能优势。

3.PSNR算法

peak的中文意思是顶点。而ratio的意思是比率或比列的。整个意思就是到达噪音比率的顶点信号，psnr一般是用于最大值信号和背景噪音之间的一个工程项目。通常在经过影像压缩之后，输出的影像都会在某种程度与原始影像不同。为了衡量经过处理后的影像品质，我们通常会参考PSNR值来衡量某个处理程序能否令人满意。它是原图像与被处理图像之间的均方误差相对于(2 n-1) 2的对数值(信号最大值的平方，n是每个采样值的比特数)，它的单位是dB。

SNRP算法

haar基函数进行小波变换

七、实验结果与分析

图 1原图

1.加入周期噪声、高斯噪声

2.对添加了高斯噪声和周期噪声的图像进行高斯滤波

PSNR值

1.对高斯噪声进行高斯滤波后 23.0287

2.对周期噪声进行高斯滤波后 23.4837

2.中值滤波

PSNR值：

1.对高斯噪声进行中值滤波 23.9931

2.对周期噪声进行中值滤波 24.3134

3.傅里叶变换滤波

PSNR值：

1.对添加了高斯噪声的图像进行傅里叶变换滤波 20.4922

2.对添加了周期噪声的图像进行傅里叶变换滤波 18.9736

4.小波变换滤波

PSNR值：

1.对添加了高斯噪声的图像进行小波变换滤波 23.4712

2.对添加了周期噪声的图像进行小波变换滤波 24.4525

分析：

对于高斯噪声，高斯滤波和傅里叶变换滤波声的除噪效果较好，中值滤波效果较差，小波变换滤波的处理效果也比较好

对于周期噪声，中值滤波和高斯滤波效果不是很好，傅里叶变换变换滤波对噪声的去处效果比较好，对于原图像损坏不大，小波变换对原图的损坏较大，但是图片可以看出噪声也去除的比较好。

5.图像压缩(4:1压缩) 原图-左 压缩后-右

分析：

图像压缩算法就是先将一副图像分成很多小块，然后分别对这些小块进行变换，这里采用的是傅里叶变换，然后过滤掉冗余的像素点，然后再利用反变换得到压缩后的图像即可。

小波变换

1.定义

小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节带噪声信号经过预处理，然后利用小波变换把信号分解到各尺度中，在每一尺度下把属于噪声的小波系数去掉，保留并增强属于信号的小波系数，最后再经过小波逆变换回复检测信号。

2.优点

小波变换在去除噪声时可提取并保存对视觉起主要作用的边缘信息，而传统的基于傅里叶变换去除噪声的方法在去除噪声和边沿保持上存在着矛盾，因为傅里叶变换方法在时域不能局部化，难以检测到局域突变信号，在去除噪声的同时，也损失了图像边沿信息。由此可知，与傅里叶变换去除噪声的方法相比较，小波变换法去除噪声具有明显的性能优势。

Haar基函数进行小波变换

图 2原图

图 3 haar变换

图 4 haar反变换后

图 5 最低分量近似置零

图 6 垂直分量置零

小波变换进行图像压缩与傅里叶变换压缩对比

1.压缩比 1:2(左-小波压缩 右-傅里叶压缩)

2.压缩比 1:4(左-小波压缩 右-傅里叶压缩)

通过这次实验，学到了很多。特别是在傅里叶变换和小波变换等方面，开始的时候连傅里叶变换的基础基础也不懂，后来在csdn上看了一篇讲解傅里叶变换的文章，豁然开朗，傅里叶变换居然可以将一个时域信号转化到频域，而且自己还对与i有了更加深刻的理解。虽然傅里叶变换可以把信号从时域转换到频域，但是频域与时域的对应关系却无法一一对应，所以诞生了小波变换。小波变换的特别之处就是可以把一个时域上的信息转换为时域-频域一一对应，这对应特殊信号的提取是有很好的效果，在一定程度上比傅里叶变换更厉害。但是在傅里叶、小波等基础概念知识方面，自己还是涉猎的比较少，原理的论证公式太复杂了。

众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立，精确重建余弦调制滤波器组(PR-CMFB)逐渐成为了一种最佳滤波器组〔1～3〕。根据滤波器组的多相表示方法和精确重建理论，业已证明这类滤波器组的原型滤波器的2M个多相元素可以归类为M个功率补对，且每个功率补对都可以用两通道无损格形滤波器组来实现〔3～5〕。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。由于这是一个严重非线性优化问题，通常很难求解，故难以设计出具有高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。近几年针对该问题，许多学者都进行了广泛深入的研究，取得了众多研究成果〔6～11〕。通过直接将原型滤波器系数作为优化变量，本文将这一设计问题转化为带二次型约束的最小二乘(QCLS)优化问题〔8，11〕，并且其约束矩阵都是对称正定的矩阵。从而，可采用一种变参量的罚函数方法来有效求解该优化问题。采用这种设计方法我们获得了高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。下面我们总结了现有余弦调制QMF组的设计方法和本文方法的优缺点：

现有PR CMFB设计方法的局限性：

(1) 对初值十分敏感，需提供一个较好的初始近似解；

(2) 所有方法都是迭代类方法，故计算较为复杂；

(3) 所得优化解可能只是一个局部极小点；

(4) 将严重非线性优化问题经过线性化处理转化为一个多变量线性优化问题来求解；

(5) 代价函数φ是关于格形滤波器系数的严重非线性函数，因此很难获得具有高阻带衰减的余弦调制滤波器组。

本文所提出方法的优点：

(1) 无须罚因子参数趋于无穷大即可获得问题的全局最佳解；

(2) 由于该方法的代价函数是所设计的原型滤波器系数的凸函数，具有Lyapunov全局稳定和收敛特性，故无需提供初始近似解；

(3) 解的精度可以通过适当控制罚因子参数的变化范围。换句话说，PR条件和阻带衰减之间的折衷可以通过罚因子参数来控制；

(4) 直接将原型滤波器的冲激响应系数作为优化变量；

(5) 通过适当重组原型滤波器的系数，该方法可很容易推广到多维多通道QMF滤波器组情况

测量被测对象在不同时间的特性，即把它看成是一个时间的函数f(t)来测量，称为时域测量。例如，对图中a的信号

f(t)可以用示波器显示并测量它的幅度、宽度、上升和下降时间等参数。把信号f(t)输入一个网络，测量出其输出信号f(t)，与输入相比较而求得网络的传递函数h(t)。这些都属于时域测量。

对同一个被测对象，也可以测量它在不同频率时的特性，亦即把它看成是一个频率的函数S(ω)来测量，这称为频域测量。例如，对信号f(t)可以用频谱分析仪显示并测量它在不同频率的功率分布谱S(ω)，如图b。把这个信号输入一个网络,测量出其输出频谱S′(ω)，与输入相比较而求得网络的频率响应G（ω）。这些都属于频域测量。用一个频率可变的正弦（单频）信号作输入，测量出在不同频率时网络输出与输入功率之比，也得到G(ω)。这仍然是频域测量。

时域与频域过程或响应，在数学上彼此是一对相互的傅里叶变换关系

频域就是一个信号所具有的所有正弦分量的频率的总合，任何一个周期信号都可以分解为以不同振幅和频率或相位的正弦波为分量的级数，所有分量的频率的总合叫该信号的频域，频域和时域都是对非正弦信号的分析方法。

这里*表示卷积。时域测量与频域测量互相之间有唯一的对应关系。在这一个域进行测量，通过换算可求得另一个域的结果。在实际测量中，两种方法各有其适用范围和相应的测量仪器。示波器是时域测量常用的仪器，便于测量信号波形参数，频谱分析仪是频域测量常用的仪器，便于测量频谱、谐波、失真、交调等。

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