证明：由题易知(1-a1),(1-a2),...,(1-an)∈(0,1)
对1/(1+a1+a2+...+an)>(1-a1)(1-a2)...(1-an)两边同时取ln对数即证
-ln(1+a1+a2+...+an)>ln(1-a1)+ln(1-a2)+...+ln(1-an)
用不等式ln(1+x)<x,x≠0即可证。
【该不等式证明如下：引入函数f(x)=ln(1+x)-x,x∈(-1,1)
求导f'(x)=-x/(x+1),当x∈(-1,0),f'(x)>0,f(x)单增,当x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单减。那么f(x)在x=0处取得极大值，且该极大值必为最大值，则f(x)<f(0)=0,即ln(1+x)<x】
于是
ln[1+(a1+a2+...+an)]<(a1+a2+...+an)
即有-ln[1+(a1+a2+...+an)]>-(a1+a2+...+an)
而
ln(1-a1)<-a1
ln(1-a2)<-a2
...
ln(1-an)<-an
累加可得
ln(1-a1)+ln(1-a2)+...+ln(1-an)<-(a1+a2+...+an)<-ln[1+(a1+a2+...+an)]
那么ln(1-a1)+ln(1-a2)+...+ln(1-an)<-ln[1+(a1+a2+...+an)]
还原即1/(1+a1+a2+...+an)>(1-a1)(1-a2)...(1-an),命题得证。
2(ab+bc+ac)可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
因三角形两边和大于第三边,即b+c>a,a+c>b,a+b>c
故a^2=aXa<a(b+c),b^2=bXb<b(a+c),c^2=cXc<c(a+b)
所以a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)
