信号传递函数有什么特点？

传递函数是在零初始条件下，线形定常系统输出量的拉式变换与输入量的拉式变换的比值。

传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有两方面的含义：一是指输入是在t=0以后才作用于系统的，因此，系统输入量及其各阶导数在t〈=0时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在t<=0时的值也是零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统的性能。所以，这样规定是必要的。

h(t) -- 系统的冲激响应函数(或脉冲响应函数)；

H(jw) -- 系统的频率响应函数；

H(s) -- 系统的传递函数。

三者的关系如下：

脉冲响应函数h(t)的Laplace变换为传递函数H(s)；

脉冲响应函数h(t)的Fourier变换为频响函数H(jw)；

将传递函数H(s)中的s代以jw，则传递函数H(S)变成频响函数H(jw)。

总之三者知其一，可以求出另外两个。

传递函数的性质传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输出之间的关系，不反映系统内部中间变量如何传递。

它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

Z变换(Z-transform) 将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程，以简化求解过程的一种数学工具。离散信号系统的系统函数（或者、称传递函数）一般均以该系统对单位抽样信号的响应的Z变换表示。由此可见，Z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统中的拉氏变换。

Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。

由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个(或一系列各种）系统的处理后输出所需要的信号序列，因此，首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知，若直接在时域中求解。

则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和，故为求输出信号，必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换，然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。

这里的反变换即逆Z变换，是由信号序列的Z变换反回去求原信号序列的变换方式。

信号与系统

whye

可以用函数表示的信号

不能用确定的函数表示，只能知道它的统计学性质。

连续信号通过取样成为离散信号

离散-》连续：零阶保持/分段线性

定义域是连续的

如果函数值也连续，则称为模拟信号

定义域是离散的

取值离散时称为数字信号

对于定义点等间隔的称为序列，其中自变量k称为序号。离散时间信号记f(kT)，也做f(k)

两个周期信号合成后是否是周期信号

如果信号的周期之比T1/T2都是有理数，那么合成信号周期为子信号的最小公倍数。如果多个信号

如果信号周期之比是无理数，则合成信号是非周期信号。

判断离散信号是否是周期信号：判断相应连续函数周期是否为有理数

周期序列之和一定是周期序列

将信号f(t)施加在1欧姆电阻上，他所消耗的瞬时功率为|f(t)|的平方，定义能量和平均功率信号为

能量有限信号：E<无穷 P=0

功率有限信号：p<无穷 E=无穷

因果信号：t=0时接入信号，即t<0时f(t)<0

反因果信号：t>=0时，f(t)=0的信号（除0信号）

t>0时为1称为单位阶跃函数

阶跃函数的导数

高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。高度用（1）表示。

冲激函数可以描述断点处的导数，称为奇异函数

冲激函数在广义函数中的定义

冲激函数\sigma(t)作用与检验函数\psi(t)的结果是赋值为\psi(0)， 称为冲激函数的取样性质，即

注意积分区间是否包含积分时刻t=0

同理有

y=f(t)，将一维实数空间的数t经过f所规定的运算映射为一维实数空间的数y。

选择一类性能良好的函数\psi(t)作为检验函数（相当于自变量），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数\psi(t)赋予一个数值N的映射，记

\sigma'(t)称为冲激偶

\sigma'(t)的定义

为什么用上面推导的式子积分结果比定义式多了一项，因为\sigma(t)是偶函数，他的导数\sigma'(t)是一个奇函数，在0的对称区间上积分为0

同理有

对n阶导数的推广

注意，冲激函数的尺度变化时，冲击强度也要变化

一般的，有

同理有

和信号类似

注意节约序列k=0是取值为1

同一t和k进行加减乘

由f(t)得到f(-t)

以y轴为对称轴做镜像处理

注意平移和反转都是对变量t进行 *** 作

信号定义：由若干相关事物组合而成具有特定功能的整体。

给定一个输入（激励），产生一个输出（响应）

系统的作用：将激励进行加工和处理，产生需要的输出。

集中参数系统：电路尺寸<<波长

分布参数系统：电路尺寸与波长相近，如微波线路

系统的状态：可能会被过去的输入所影响。由状态和输入就可以产生输出。

输入和状态都会对输出产生响应，因此有了零输入响应、零状态响应和全响应。

线性：齐次性、可加性

记忆系统：响应会被过去的状态影响的系统

对于一个即时系统，可由上面的方式判断是否线性，对于一个记忆系统，可将其分为零状态和零输入

注意f代表激励，x代表状态，t代表时间

动态系统的线性判断：

时不变系统：输入延迟多久，那么输出也延迟多久，即系统不随时间改变

例

理解 f是输入，t是时间 是关键。

简单判断方式：

如果在输入前出现变系数，或者时间上存在反转、展缩变换，那么为时变系统。

线性时不变系统称为LTI系统

微分特性

积分特性：

因果系统：零状态响应不会出现在响应的激励之前的系统

例

非因果系统：零状态响应会出现在响应的激励之前的系统，即响应为未来的激励

例

例

注意因果系统中，要在结果中乘上\xi(t)。

加法器、乘法器、积分器

：齐次解+特解

齐次解由系统本身的性质确定与输入的激励无关，称为自由响应/固定响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

和输入没关系，由状态产生，因此y_zi(0+)=y(0-),f(t)=0,求零输入响应也就是求状态为y(0-)的齐次解，解出零输入响应后要注明t>0。

和状态无关，即y_zs(0-)=y_zs'(t)=0，再求经典解即可。同样注明t>0，使\sigma(t)=0，\xi(t)=1

h(t),由单位冲激信号产生的零状态响应

g(t),由单位阶跃信号产生的零状态响应

信号分解：将f(t)分解为基本信号的组合

卷积：将普通信号分割为无穷份，再积分

卷积积分的严格定义

卷积图解法

信号正交的定义

若n个函数在(t_1,t_2)区间内任意两个函数都正交，则称此函数集为区间(t_1,t_2)上的正交函数集。

若一个正交函数集中的任意一个函数与自身的内积为1，则称该函数集为标准正交函数集。

在一个正交函数集外，不存在一个不为0的函数满足该函数与该函数集中任意一个函数正交，则称这个函数集为完备正交函数集。

振幅/相位在频率上的函数，称为振幅谱/相位谱，自变量为

三角形式中的n取值为n>0，那么频谱图分布在正半轴，称为单边谱，指数形式中n取值为负无穷到正无穷，称为双边谱