画椭圆方法

画出长轴AB和短轴CD，连接AC；第二步：在AC上截取CF，使其等于AO与CO之差CE；第三步：作AF的垂直平分线，使其分别交AO和OD（或其延长线）于O1和O2点。以O为对称中心，找出O1的对称点O3及O2的对称点O4，此O1、O2、O3、O4各点即为所求的四圆心。通过O2和O1、O2和O3、O4和O3各点，分别作连线；第四步：（双击恢复）分别以O2和O4为圆心，O2C（或O4D）为半径画两弧。再分别以O1和O3为圆心，O1A（或O3B）为半径画两弧，使所画四弧的接点分别位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延长线上，即得所求的椭圆。

几何画板作为专业的绘图工具，用它绘制椭圆不仅可以使图形画得更准确，还能很好地显示椭圆的一些性质，具体步骤如下：

1构造线段与中点。选择“直线工具”，画出线段AB，选择“构造”—“中点”命令，画出线段AB的中点C。

2构造圆。依次选中点C、点A，选择“构造”—“以圆心和圆周上的点绘圆”命令，绘制出以点C为圆心经过点A的圆C。

3构造垂线与交点。选择“点工具”，在圆周上任意作一点D，选中点D和线段AB，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段AB的垂线，与线段AB的交点为E。

4隐藏圆和直线。选中圆C和直线DE，选择“显示”—“隐藏路径对象”命令，隐藏圆C和直线DE。

5构造线段和中点。选择“线段工具”，绘制出线段DE。选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段DE的中点F。

6绘制椭圆。依次选中点D、点F，选择“构造”—“轨迹”命令，绘制出椭圆。

7隐藏点与线段。选中点D、点E、点F、线段DE，选择“显示”—“隐藏对象”命令，椭圆绘制完成。教程索引自：http://wwwjihehuabancomcn/xinshourumen/huizhi-tuoyuanhtml。

在数学上，椭圆曲线为一代数曲线，被下列式子定义：Y的平方=X的三次方+AX+B其是无奇点的；亦即，其图形没有尖点或自相交。 若Y的平方=P（X），其中P为任一没有重根的三次或四次多项式，然后可得到一亏格1的无奇点平面曲线，其通常亦被称为椭圆曲线。更一般化地，一亏格1的代数曲线，如两个三维二次曲面相交，即称为椭圆曲线。

定义

椭圆曲线就是亏格为1的代数曲线。

一条光滑的椭圆曲线可以放在射影平面里看，它的(仿射)标准方程是y^2=x(x-1)(x-t)， 这里t是任意不等于0和1的参数。

作为实曲面看，椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面－－环面。

环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。

椭圆曲线和椭圆函数,椭圆积分等内容密切相关，这里不再详述。 著名的费马大定理的证明也与此有关。总之，椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。

具体介绍：椭圆曲线上的点全体构成一个加法群， 点与点之间的“加法”运算，如图所示。 正因为椭圆曲线存在加法结构，所以它包含了很多重要的数论信息。椭圆曲线和它的雅可比簇是同构的，所以它上面的“加法”结构实际上来自于它的雅可比簇的自然加法结构。

椭圆曲线上的有理点的个数也是人们关心的重要问题，这个问题和著名的Mordell-Weil定理有关。

Mordell-Weil定理是说：椭圆曲线上有理点构成的群是有限生成的。

另一方面，椭圆曲线上的整点只有有限多个，这个定理被称为Siegel定理。

通过以下实例，可以更好的理解上述两个定理：

椭圆曲线y^2=x^3+17上，仅有16个整点:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661)

以及它们关于x轴的对称点，而其上所有的有理点可以由(-2,3),(2,5)通过群上的加法生成。

Bezout定理告诉我们， 两条光滑椭圆曲线相交于9个点（切点重复计算）。 进一步，如果有第三条光滑椭圆曲线经过其中的8个交点，那它必定经过第九个点。这是古典代数几何中的一个重要的结论。欧拉对此问题也有过考虑。

作为推广，X诺特（Noether）曾经得到了更一般的代数曲线交点的类似结论。 这个问题和代数曲面上秩2向量丛的半稳定性有着深刻的内在联系。 谈胜利利用秩2向量丛的Bogomolov不等式， 将此问题推广到最一般的情形。

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1．椭圆的简单几何性质

　　以方程

为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即

，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率：

，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵

，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆

，与F（c，0）对应的准线方程是

，与F′（－c，0）对应的准线方程是

，如果椭圆方程是

，则两条准线方程是

，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程

联想三角公式

，

　　若令

即

，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

应该是椭圆方程，不是椭圆函数，函数要满足给x一个值，y有唯一确定的值与之对应。

椭圆的参数方程为：

x=acosα

y=bsinα

其中：a代表半长轴的长度，b代表半短轴的长度，α表示与x周正半轴所成的角度（逆时针），且a^2=b^2+c^2，且c/a为椭圆的离心率。

一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上。

r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)。

e为椭圆的离心率=c/a。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解。

x=a×cosβ，y=b×sinβ，a为长轴长的一半。

相关性质：

由于平面截圆锥或圆柱得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线也称圆锥截线。

参数方程

（1）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。

（2）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。