把一个定积分求导，那上下限该怎么处理，比如这题

解题过程如下：

g（x）＝（1／x）∫［0，1］x＊f（xt）d（t）；

令u＝xt，因此积分上下限从t在［0，1］变为u在［0，x］上；

g（x）＝（1／x）∫［0，x］f（u）du（可以看为1／x与后面的变下限积分函数相乘）；

由此g＇（x）＝（－1／x＾2）∫［0，x］f（u）du＋（1／x）f（x）。

注意事项：

定积分是一类积分，函数f（x）的积分和在区间［A，b］的极限。

要注意定积分和不定积分的关系：定积分存在时是具体数值，不定积分是函数表达式，它们只存在数学计算关系（牛顿－莱布尼茨公式）。

一个函数可以有不定积分，但没有定积分；可以有定积分而没有不定积分。对于连续函数，必须有定积分和不定积分；如果只有有限的不连续点，则定积分存在。如果存在跳跃不连续，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

下面的例子或许会对你的理解有所帮助：

设F(x)=∫f(t)dt (1)

1。当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时，得：

(a,b)∫f(t)dt=F(b)-F(a)

如对上式微分，因F(b)和F(a)都是常数，则得：

[(a,b)∫f(t)dt]ʹ=[F(b)-F(a)]ʹ=0

2。当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是变数x时，得：

(a,x)∫f(t)dt=F(x)-F(a)

从上式可知，积分的结果与下限有关。可是因F(x)是x的函数，F(a)是常数，如对上式微分，则得：

[(a,x)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x)-Fʹ(a)=f(x)-0=f(x)

因常数的导数是0，上面的导数就与下限无关了。

3。当方程(1)等号右边的积分下限是变数x上限也是变数，如x²时，得：

(x,x²)∫f(t)dt=F(x²)-F(x)

如对上式微分，因F(x²)和F(x)都是x的函数，则得：

[(x,x²)∫f(t)dt]ʹ=Fʹ(x²)-Fʹ(x)=2xf(x²)-f(x)

上面的导数与下限有关。

因此，对变积分限的函数求导时，如积分下限也是一个变量，则其导数与下限有关。但若积分下限是一个常数，则其导数与下限无关。

变上限积分下限a随便常数。

原积分=∫〔原下限到a〕+∫〔a到+∞〕。

求导时，第一项按照变下限积分求导。

第二项积分如果收敛则是常数，求导为0。

当方程（1）等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时，得：（a，b）∫f（t）dt=F（b）-F（a）

对上式微分，因F（b）和F（a）是常数，得： ［（a，b）∫f（t）dt］ʹ=［F（b）-F（a）］ʹ=0。

函数地位

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。

两边对x求导，

tf(xt)=tf(x)+∫(1t)f(u)du

代入x=1

tf(t)=5t/2+∫f(u)du

对t求导

f(t)+tf'(t)=5/2+f(t)

f'(t)=5/2t

f(t)=5lnt/2+C

f(1)=5/2得f(t)=5lnt/2+5/2，t换成x即得

不一样，但有关联。当上限为积分变量，下限为常数时候，是同积分函数的不定积分的其中一个。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

注：

1函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

3从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

扩展资料：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料：

——不定积分

参考资料：

——积分变限函数

积分上下限反过来是因为换元引起的积分区间变化，换元前积分变量为t，区间[0，x]，换元中用u代替x-t，积分变量为u，积分下限变为x-0=x，积分上限变为x-x=0，所以看起来是反的，其实是巧合。

上限：t=x，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-x=0

下限：t=0，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-0=x

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,,n），作和式 

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为  ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

扩展资料

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。只要是上方的函数减去下方的函数，然后积分，就绝对不会出现符号问题。

平时的积分，由于减去的是x轴的函数，也就是y=0；而在x轴下方的图形，自然要x轴的函数减去x轴下方的函数，也就是 0 - f(x) = - f(x)，这就是负号的来源。负号不是人为加上去的，而是由x轴减下方函数所固有的。

变限积分求导公式四个如下：

f(x)=∫(a,x)xf(t)dt，此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；

第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．

事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。

拓展介绍：

求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

定义：

求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和d性。