单位阶跃函数的物理意义

从物理角度讲，引入单位阶跃函数一是为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分；二是系统在输入信号激励下的响应问题中，为了区分信号加入系统前后两个时点。信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿，记为0+，t=0+，就是t>0；输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿，记为0-，t=0-,就是t<0。因而物理上一般不介入（0- ，0+）时区，因为这个时区内说不清输入信号到底加入系统了没有，实际上这个时区的宽度也不定，数学上可以认为它趋于0。于是单位阶跃函数在自变量为0处，即（0－，0+）区间上的值不予定义。这就是物理上采用第一种定义的缘故。

卷积性质

f(t)u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子)

这一性质不难通过Delta函数的卷积性质和卷积运算的积分性质证明。

f(t)δ(t)=f(t)且有1/D[f(t)δ(t)]=f(t)1/D[δ(t)]=f(t)u(t)

所以：f(t)u(t)=1/D[f(t)]

u(t)u(t)=t×u(t)

根据积分性质，u(t)u(t)相当于对u(t)积分，所以结果为斜升函数r(t)=t×u(t) (t≤0时为零)

常用推论：u(t+a)u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)

首先可证明：

如果有：f(t)g(t)=h(t)，则有

f(t+a)g(t+b)=h(t+a+b)

这一定理称”卷积的平移性质“。

所以，令f=g=u, 则h = r(t) = t×u(t)，可得

u(t+a)u(t+b)=(t+a+b)u(t+a+b)

1、筛选性质

如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有

上式表明，信号x(t)与冲激函数相乘，筛选出连续时间信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀)，可以理解为冲激函数在t=t₀时刻对函数x(t)的一瞬间的作用，其值是冲激函数和x(t₀)相乘的结果，瞬间趋于无穷大。

2、取样性质

如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有

冲激信号的取样特性表明，一个连续时间信号x(t)与冲激函数相乘，并在时间域

上积分，其结果为信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀) 。该式可以理解为冲激函数作用于函数x(t)，趋于稳态时最终作用的结果，即得到信号x(t)在t₀时刻的值x(t₀)。

3、导数性质

冲激函数的导数性质如下：

其证明如下：

4、尺度变换

冲激函数的尺度变换性质如下：

其推论明如下：

（1）

（2）

（3）当a=-1时 

（4）

为偶函数。

（5）

为奇函数

-冲激函数

冲激函数是因果系统，是用来处理因果信号的函数。

你可以看看这两个定义。

因果信号:输出信号仅与输入信号的现在时刻过去时刻有关，则该系统为因果系统，输出输入信号为因果信号。

冲激函数:奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数用于对连续信号进行线性表达。

明显冲激函数是用来处理信号的。它本身不是信号。

  对于线性时不变系统，单位冲激函数 作用下的零状态响应称为冲激响应 ，与阶跃响应的关系为 。该系统对任意激励 的响应为 ， 为零输入相应。

  离散形式为 。

若系统的输入-输出( )方程有以下微分方程形式，

微分算子用 表示，即 ，则可得到一转移算子 ，

微分方程化为 ，则冲激响应为 。若 ，则对 作分式展开后得到如下形式，

而由Laplace变换可知对于不同的 有如下解

所以可求得冲激响应

下举两例

1

2

由上面的讨论可知，冲激响应的求解归结为求 。而根据线性时不变系统的相关性质，可以先求解易解的 ，在作叠加即可求得冲激响应 。

仍以 为例。

所以可得冲激响应，

考虑描述一因果线性时不变系统的差分方程，

用 表示 ，则该系统的频率响应为，

于是也可以对应得出冲激响应为，

可以看出，即使 是真分式也可以用类似的部分分式法求解冲激响应。

系统在单位阶跃输入作用下，系统在零初始条件下的输出响应为c(t)=1-2e^-2t+e^-t，系统的传递函数r(t)=1(t)进行拉氏变换得到R(S)=1/s，c(t)进行拉氏变换得到C(S)=1/s-1/(s+2)+1/(s+1)，G(S)=C(s)/R(S)=(2-ss)/(ss+3s+2)。

引入单位阶跃函数为了解决单位冲激函数（狄拉克Delta函数）的积分，系统在输入信号激励下的响应问题中，为了区分信号加入系统前后两个时点。

信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿，记为0+，t=0+，就是t>0；输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿，记为0-，t=0-,就是t<0。

扩展资料：

一般认为，阶跃信号对于系统来说是十分严峻的工作状态，因为阶跃信号中存在跃断点（不连续点）。针对零初始状态系统在单位阶跃输入下的响应情况。

定义了一系列动态性能指标，用以评判系统的动态性能，如超调量、衰减比、上升时间、调节时间、峰值时间等等。

-单位阶跃函数