二元函数泰勒公式

二元函数泰勒公式：z=f（x，y）。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

二阶泰勒来公式不需要很深的了解，基本上是考不到的，从97到11年的真题来看，基本上没出现二阶泰勒的题目。但一节泰勒公式可是必须要掌握的。

f'(xo)是准确值，f''(ξ)那一项是一阶泰勒的余项。所以说，还是展开到了一阶。泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（百x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

f为定义在点集D上的二元函数。P0为D中的一点。对于任意给定的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P在P0的δ临域和D的交集内，就有|f(P0)-f(P)|<ε，则称f关于集合D在点P0处连续。若f在D上任何点都连续，则称f是D上的连续函数。

扩展资料

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为：

一个关回于（x-x。)多项式和一个余项的和。

公式：f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2！•(x-x。)^2，+f'''(x。)/3！•(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n！•(x-x。)^n+Rn 

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)！•(x-x。)^(n+1)，这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。

拉格朗日（Lagrange）余项：

，其中θ∈（0,1）。

拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。

证明：

根据柯西中值定理：

其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之间；同时：

进而：

综上可得：

扩展资料

泰勒公式的不同余项表达形式有：

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

参考资料-泰勒公式

皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项，只是说原来的方程不完全等于展开项，还有加上一个修正，它是展开最后一项的无穷小，只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

扩展资料：

泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度。

因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

-泰勒公式

二元函数泰勒展开公式：f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]。

泰勒公式，应用于数字、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

函数(function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映别的观点出发。

而x的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f(x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且是可求出来的。在所给出的展开式中，Rn(x)被写在最后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式以及f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n+1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n+1阶导数时，(x-x0)^n求导后全部导成常数零，等号这边只剩了n+1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n+1阶导数可由f(x)的n+1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，从而估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样无法求值的函数可求。所以x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因此f n+1(x)有界，可设为M 。这样就可以对所造成的误差作最坏的估计，从而保证估值的精确。

皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项，只是说原来的方程不完全等于展开项，还有加上一个修正，它是展开最后一项的无穷小，只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。

首先明确一点，就是带皮亚诺型余项的泰勒公式相比带拉格朗日的条件要松一阶，拉格朗日要求f(x) n+1阶可导，而皮亚诺只需要n阶可导。

证明原理：构造一个多项式pn=Σ An(x-x0)^n

假设构造出的pn与f（x）在x0处n阶相切，即二者在x0的原函数值与1~n阶的每一阶导数都想同，另设R=f(x)-pn,则只要证明，系数An与泰勒公式中的系数一致，且R为x→x0的（x-x0）^n的高阶无穷小即可。

扩展资料:

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项

另一类是定量的拉格朗日余项

这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

-泰勒公式

泰勒公式

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+f''(x)/2!•(x-x)^2,+f'''(x)/3!•(x-x)^3+……+f(n)(x)/n!•(x-x)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x)^(n+1),这里ξ在x和x之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x)是f(x)的n阶导数，不是f(n)与x的相乘。）

证明：我们知道f(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)=A0+A1(x-x)+A2(x-x)^2+……+An(x-x)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x)=f(x),P'(x)=f'(x),P''(x)=f''(x),……,P(n)(x)=f(n)(x),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x)=A0,所以A0=f(x)；P'(x)=A1,A1=f'(x)；P''(x)=2!A2,A2=f''(x)/2!……P(n)(x)=n!An,An=f(n)(x)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+f''(x)/2!•(x-x)^2+……+f(n)(x)/n!•(x-x)^n

接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x)=f(x)-P(x)=0。所以可以得出Rn(x)=Rn'(x)=Rn''(x)=……=Rn(n)(x)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x)/(x-x)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x)^n(注：(x-x)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x)/(n+1)(ξ1-x)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。

证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x=0时的特殊形式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)

由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。

麦克劳林展开式的应用：

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……

于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10,即可算出近似值e≈27182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。

泰勒

(2004-02-06)

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。

1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。