[傅里叶变换公式] 常见函数的傅里叶级数

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。



x(

质量－d簧系统的力学模型

非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

（，…）

傅立叶系数：

式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图

 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶

级数并画出频谱图 解：

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数

频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式

或

 傅立叶级数的复指数形式

 复数傅里叶系数的表达式

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此

#

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

 cn的复指数形式

共轭性还可以表示为

即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

（等于三角

函数模的一半）

相角相等）

用cn画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-图:n-

相频谱，

第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：

Imcn-；也就是an-和-bn- #

§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类： a准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（222）借助（216）演变成：

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)

X(ω)的傅里叶反变换x(t):

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

数。  对应关系：

X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为

 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X( f ) 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

幅值频谱图

相位频谱图

()

实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω

) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性

（二）对称性

（注意翻转）

（三）时移性质

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质

（注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性

（六）微分性质

（七）卷积性质

（1）卷积定义

（2）卷积定理

三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数：

(t)

0)

定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值：

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

xx(t0)(tt0)

函数值：

强度：

结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2

(b) 利用结论2

结论：平移

x(t

（三）脉冲函数的频谱

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

（利用时移性

质）

（利用对称性

质）

（对上式，

再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱

余弦函数的频谱



(f)

正弦函数的频谱

(f)

物理意义有以下几点：

1。频率的概念就是从机械旋转运动来的，

定义为角速度，对于周期运动，角速度也就是角频率。通常

θ

以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率就是顺时针旋转角速度。这就是它的物理意义，正、负号不影响它的物理意义。

2。电的单位向量（电压或电流）围绕原愕淖梢杂表示，这是在电路中都清楚的。

θ

的正负所代表的物理意义从未有什么争议，它的导数

的物理意义不言自明，取正取负都不影响定义，为什么取负就会失去物理意义了呢？

3。在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，开宗明义地把研究范围限定于实信号

f(t)

，也就是在电压旋转向量

中，只研究它在实平面或虚平面上的一个投影-sin(

ω

t)或cos(

ω

t)，研究复信号

的特性与只研究实信号sin(

ω

t)或cos(

ω

t)

是两个不同的层次。前者是反映信号在空间的全面特性，后者只研究了信号在一个平面（x-t或y-t

x-t或y-t

θ

，更看不到

ω

，只有在x-y平面上才能看到这两个参数。

4。同样，用

或sin(

ω

t)或cos(

ω

t)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后者片面。对实信号做傅立叶变换时，如果按指数

求，我们将得到双边频谱。以角频率为

ω

的余弦信号为例，它有具有位于

±ω

两处的，幅度各为0。

lni=i(π/2+2kπ)，k是整数。

解答过程如下：

（1）Ln是对数函数。其反函数是指数函数，可以利用这个关系来求解。

（2）设z=Lni，则e^z=i=0+1i=exp(iπ/2)=exp[i(π/2+2kπ)]，其中k是整数。

（3）所以z=i(π/2+2kπ)，k是整数。

（4）特别地，当k=0的时候，Lni取得主值，为lni=π/2。

复变数复值函数

设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为

w=ƒ(z)

这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。