二元函数求极值解方程组，驻点怎么求，我老是落下几个驻点？

首先要注意x＝0, y＝0显然是方程组的解。

其次，x＝0, y＝4以及y＝0, x＝4也是方程组的解。

最后，对于x≠0或4, y≠0或4时的情形，最简单的办法是将两个方程的第2项分别移到等式右边，然后两个等式相除，得到y/x＝1，即x＝y再将x＝y代入两个方程中的一个里面去，得到

x(4-2x)-x^2＝0，即x(4-3x)＝0

求得x＝4/3，y＝4/3

于是，驻点有四个：

(0,0)、(0,4)、(4,0)、(4/3, 4/3)

注：上述解法首先是注意到了将二方程的第2项移到等式右边后，两个等式相除后，很容易得到y/x＝1但这个结果需要有条件x≠0、y≠0、4-x-y≠0做保证。所以，首先要对这些特殊情况作讨论，这就是上述“首先”、“其次”的内容出现的原因。

复习全书上一元函数极值定义也是带等号的，个人认为此处不妥。典型的常数C，按此定义处处都为极值点。

同济六版极值点定义是说一点领域内有定义，去心邻域任一点小于该点的函数值，则称该点的函数值为极大值。

二元也是同样的情况，我觉得还是用同济书上的定义比较好。

当A>0或C>0时，取极小值；反之，极大值。若A=C=0，则继续讨论。

技巧还是自己摸索的好，有的人很会这类题目，但是他也说不出什么技巧来。高中数学其实就是熟练程度的比拼而已，这类题目做多了，技巧也就慢慢的被发现了。

学数学的小窍门

1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。

2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。

5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。

6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

本书是一本供高等学校理工科非数学专业的本科生作为教材使用的教材书。该书是《高等数学》下册，主要对多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、级数和常微分方程作了介绍。另外，该书的例题丰富，每个节之后还配有适当数量的习题，在书末还附有习题答案与提示以供教师和学生使用。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。

第8章 多元函数微分学

81 多元函数的极限与连续

811 多元函数的概念

812 平面点集的一些概念

813 多元能函数的极限

814 多元函数的连续性

习题81 82 偏导数

821 偏导数的定义与计算

822 高阶偏导数

习题82 83 全微分

831 全微分的定义与计算

832 全微分在近似计算中的应用

习题83 84 多元复合函数微分法

841 多元复合函数的链式法则

842 全微分形式不变性

习题84 85 隐函数微分法

851 一个方程的情形

852 方程组的情形

习题85 86 微分法在几何上的应用

861 空间曲线的切线与法平面

862 曲面的切平面与法线

习题86 87 方向导数与梯度

871 方向导数

872 梯度

习题87 88 多元函数的极值

881 极值存在的必要条件与充分条件

882 最大值与最小值问题

883 条件极值

习题88 89 二元函数的泰勒公式

891 二元函数的泰勒公式

892 二元函数极值充分条件的证明

习题89 810 最小二乘法

习题810 第9章 重积分

91 二重积分的定义及简单性质

911 曲顶柱体体积的计算

912 平面薄片质量的问题

913 二重积分的定义

914 二重积分的简单性质

习题91 92 二重积分的计算

习题92 93 二重积分的换元法

931 一般换元公式

…… 第10章 曲线积分与曲面积分

第11章 级数

第12章 常微分方程

f''xy(0,3)

先求f''xy(x,y)

f(x,y)先对x求导再对y求导 已知f'x(x,y)=2x+y-3

f'x(x,y)=2x+y-3 是y的一次函数对y求导

为y的 一次项系数 ,即常数1

f''xy(x,y)＝1

与x,y值无关,

f''xy(0,3)＝1

函数的极值是高等数学中微分学理论的一个重要的组成部分，它在数 学教学、工农业生产、工程技术及科学实验等方面，常常会遇到这样 一类的问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”, “成本最低”、“效率最高”等，这类问题在数学上可归结为求某一 函数的最大值或最小值问题，本文介绍了一元函数、多元函数的极大 值和极小值问题，通过典型例题阐明函数极大值和极小值的求法及其 在经济中的应用。 1 一元函数的极值 定义①：设函数（）在区间（）内有定义，（），若在的某去心邻域 内有：（）≤（）（或（）≥（）），则称（）是函数（）的一个极 大值（或极小值），称为（）的极大值点（或极小值点）。极大值 与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值 点。一元函数极值的求法比较简单，

常用的求值域的方法：

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域(答案:值域为{y∣y≤3})

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a)f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）

A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)

y= 3 (-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1 （t≥0）,则

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2

所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,

KC=√(x+2)2+1 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。

函数的值域为｛z|z≥1｝

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）

上册

第一章数学软件包MATLAB简介

11MATLAB基础知识

12MaTLAB的符号计算

第二章函数

21函数及其性质

22初等函数

23例题与练习

24用MATLAB进行函数运算

第三章极限与连续

31极限

32极限的运算

33函数的连续性

34例题与练习

35用MATLAB求极限

第四章导数与微分

41导数的概念

42求导法则

43微分及其在近似计算中的应用

44例题与练习

45用MATLAB运行求导运算

第五章导数的应用

51罗比塔法则

52拉格朗中中值定函数的单调性

53函数的极值与最值

54曲率

55函数图形的拐点

56例题与练习

57用MATLAB做导数应用题

第六章不定积分

61不定各分的概念及性质

62不定积分的积分法

63例题与练习

第七章定积分

71定积分的概念与性质

72微基分基本公式

73定各积分的法

74广义积分

45例题与练习

第八章定积分的应用

81定积分的几何应用

82定积分的物理应用

83例题与练习

84用MATLAB做一元函数的积分

附录

主要参考文献

下册

第9章常微分方程

9．1常微分方程的基本概念与分离变量法

9．2一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程

9．3二阶常系数线性微分方程

9．4例题与练习

9．5用Matlab解微分方程

第10章向量与空间解析几何

10．1空间直角坐标系与向量的概念

10．2向量的点积与叉积

10．3平面与直线

10．4空间曲面与曲线

10．5例题与练习

10．6用Matlab做向量运算及空间曲面

第11章多元函数微分学

11．1多元函数的极限与连续

11．2偏导数

11．3全微分

11．4 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用

11．5多元函数的极值

11．6例题与练习

11．7用Matlab求偏导数与多元函数的极值

第12章多元函数积分学

12．1二重积分的概念与计算

12．2二重积分应用举例

12．3例题与习题

12．4用Matlab做多重积分

第13章级数

13．1数项级数及其敛散性

13．2幂级数

13．3例题与习题

13．4用Matlab做级数运算

第14章拉普拉斯变换

14．1拉普拉斯变换的概念

14．2拉氏变换的运算性质

14．3拉氏变换的逆变换

14．4拉氏变换及其逆变换的应用

14．5例题与练习

14．6用Matlab求拉普拉斯变换

附录A拉普拉斯变换简表

附录B部分练习题答案

主要参考文献