多元函数求极值里面的条件极值的求法为什么是这么求的？

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。

以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令

fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。）=b,fyy=(x。,y。）=c

则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是

（1）ac-bb>0时有极值

（2）ac-bb<0时没有极值

（3）ac-bb=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。

如果是条件极值，那么更复杂一些。

大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。

如果需要我可以发给你pdf。

多元函数是v=xyz,限制条件是：

[(x/2)^2]/a^2+[(y/2)^2]/b^2+[(z/2)^2]/c^2=1

l=v+λ（[(x/2)^2]/a^2+[(y/2)^2]/b^2+[(z/2)^2]/c^2）

根据l对x,y，z一阶偏导均等于0求出驻点，再用b^2-ac验证是否为极大值

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

1如果没有限制条件的话,以二元函数为例,第一步求出该函数的一阶偏导数都为零时的点,记为P0点,此时P0点是稳定点,然后验证Heesen矩阵的的正定性,若正定,在P0点取得极小值,若负定,在P0点取得极大值,若不定,不取得极值

(具体还有判断公式)

2如果有限制条件,例如限制条件为ψ（x,y）=0,那么有两种方法：

1升维：构造拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解,然后在验证是否取得极值

2降维：这种方法多种多样,比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0,限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x,y）=0,将其带入u(x,y,z)中,这样的话,原函数就由3维降到了2维,就比较方便了

拉格朗日乘数法一般用于条件极值问题……

课本上说：它可以推广到自变量多于两个及等式约束条件多于一个的情况

其实四元完全是可能的也就是列出4个关于自变量的方程，和3个关于拉格朗日乘数的方程，理论上是绝对可以求出的，只是过程繁琐些罢了（当然在实际问题中很少见4元的，因为一般三维的空间里要有抽象变量才会出现4元……）

这是条件极值问题,得用Lagrange乘子法解决

设F=x+2y+k(x^2+y^2--5),则aF/ax=1+2kx=0

aF/ay=2+2yk=0,aF/ak=x^2+y^2--5=0,

由第一和第二个方程解出x=--1/2k,y=--1/k,代入第三个方程得

4k^2=1,k=1/2或k=--1/2,对应的

x=--1,y=--2,或x=1,y=2z(--1,--2)=--5,z(1,2)=5,

因此最大值是5,最小值是--5,分别在(1,2)和（--1,--2）达到

当然,此题其实可以用初等数学知识解决,只需令x=根号(5)cosa,y=根号(5)sina,就可以了