正态分布密度函数的公式

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：

——正态分布

正态分布概率计算公式：

其中μ为均数，σ为标准差。μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。σ描述的是正态分布的离散程度。σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。

正态分布符号定义：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N(μ，)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。 

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；d着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

mvncdf(X,mu,sigma)

输出均值为mu协方差矩阵为sigma的正态分布函数在X处的值。

如

mvncdf([1,2],[0 0],[1 0;0 1])

就是均值为[0,0]协方差矩阵为[1 0;0 1]的正态分布函数在点[1,2]处的值。

两个状态随机变量X、Y的和与差仍为正态随机变量，

因此只要求出 X+Y 的数学期望和方差，那么就可以

写出X+Y的密度函数：

E(X+Y) = E(X)+E(Y) (1)

D(X+Y) = D(X²)+D(Y²)+ 2[E(XY)-E(X)E(Y)] (2)

根据（1）（2）两式，可以写出X+Y的正态密度函数。

特别当 X,Y相互独立时，D(X+Y) = D(X)+D(Y) (3)

其密度函数为：

f(z) = [1/√(2πD(z)] exp{-(z-Ez)²/2D(z)} (4)

式中：Z = X+Y Ez ＝ E(X)+E(Y) D(z) ＝ D(X)+D(Y) (5)

正态分布的概率密度是：f(x)=exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]。计算时，先算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式，给定x值,即可算出f值。

正态分布的概率密度定义域：

横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的密度概率为68268949%。

横轴区间（μ-196σ，μ+196σ）内的密度概率为95449974%。

横轴区间（μ-258σ，μ+258σ）内的密度概率为99730020%。

正态分布中一些值得注意的量：

密度函数关于平均值对称。

平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）。

函数曲线下68268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内。

95449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内。

99730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内。

99993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内。

反曲点（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处。

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：

——正态分布

如果是正态分布的话可以

因为正态分布的概率密度函数只取决于期望和方差这两个知道的话就能唯一的确定概率密度函数f(x)而f(x)是对随机变量的完全描述,故能求出X在某个区间中的概率

方法就是你说的先求概率密度函数 ,然后再求区间概率

二维也是可以的,N维也是可以的只要是正态分布就行

其实你从f(x,y)的公式也可以看出来啊

二维正态分布的联合概率密度函数f(x,y),只取决于u1,u1,sigma1,sigma2,和相关系数p有了这些你就能写出f(x,y),有了f(x,y)就什么都能求了

推广到N维正态分布的话,你必须知道N个均值,N个方差,还有一个N阶的协方差矩阵然后同样的求出f(x1,x2,,xn),接着就什么都能搞定了

要看X和Y是否相互独立，不独立的话就是一个2重积分，被积函数为这两个函数的概率密度函数的乘积再乘以xy，独立的话，这个2重积分等价于这两个函数的边缘分布函数的乘积。

如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。

在概率论中, 对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布。

扩展资料：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。