用复合函数的求导法则求x和y的偏导数

z=u^v=(x^2+y^2)^xy

使用对数恒等式得到

z=e^ [ln(x^2+y^2)xy]

所以对x 求偏导数得到

z'x= z [ln(x^2+y^2)xy]'

=z 2x/(x^2+y^2) xy +z ln(x^2+y^2)y

即z'x=(x^2+y^2)^xy [2x/(x^2+y^2) + y ln(x^2+y^2)]

同理可以解得y的偏导数

z'y=(x^2+y^2)^xy [2y/(x^2+y^2) + x ln(x^2+y^2)]

二元函数f对其第一个自变量的偏导数记作f1'，对第二个自变量的偏导数记作f2'，它的好处是不用引入中间变量的符号。如果引入了中间变量u,v，那么f1'就是f(u,v)对u的偏导数，f2'是f(u,v)对v的偏导数。

f1'与f2'还是u,v的函数，所以还是x,y的复合函数，继续使用复合函数的求导法则。

起初是在写一道题目的时候发现的问题，一开始一直不知道问题在哪，现在把这道题目贴在下面，想跟大家探讨一下，大家有什么问题可以在评论区回复

设 ,而 是由方程 所决定的函数，其中 都具有一阶连续偏导数，试证明：

按照正常的来说这是一道非常经典的隐函数求偏导数的例子，所以我第一步想到的就是这两个式子，大家可以先自己做一做：

鉴于我要得到这种形式所以我把上下都提出一个 这样我们就可以得到右边等于：

这样当我们把 代入上式，并且上下消去 时我们就可以得到:

至此上面都没有任何问题,下面先写出我错误的解法让大家先想想错在哪里

对于 这个式子两边对 求导

那么此时 式化简为：

Wow！！到这感觉距离成功就只有一步之遥了，我只要证明下面那个式子为1就行:

然后就产生了一个奇怪的现象，那也就是说我要证明:

虽然这很荒谬但是因为我觉得上面没有任何问题啊，然后我就思考这个到底是不是对的，但一直找不到一个好的解释

直到我看到了一个式子：

然后我们利用这个式子进行隐函数的求导法则的应用 式：

然后我们分别得到:

两种方法，第一用几何意义，复合函数求导，分为两层，比如x变化，复合函数x到u再到z连锁引起的，所以偏导有两层，第二，你要明白复合函数求偏导，第一层和第二层同样对x求导意义和作用域的不同，隐含数的概念怎么推到的，实际上隐函数求导也是用复合函数推的，你要明白了，道理是一样的