已知函数f（x）=aInx-bx2，函数f(x)在x=1处取得极值为-1

（1）直线y=-1/2斜率为0，因为函数f(x)在x=1处与y=-1/2相切， 所以f(x)在x=1处的切线斜率为0，即f'(1)=0，且f(1)=-1/2； f(1)=-b=-1/2，得b=1/2 f'(x)=a/x-2bx，f'(1)=a-2b=a-1=0，得a=1 所以：a=1，b=1/2（2）由（1）f(x)=lnx-x^2/2，易得定义域为x>0； f'(x)=1/x-x，令f'(x)=0，可得x=1，且和所给区间〖1/e,e〗结合， 易得当1/e<x<1时，f'(x)>0，即f(x)递增； 当1<x<e时，f'(x)<0，即f(x)递减； 所以：在区间〖1/e,e〗上的最大值只可能是f(1)， f(1)=-1/2 所以所求最大值为：-1/2

：（1）方程|f（x）|=g（x）,即|x2-1|=a|x-1|,变形得|x-1|（|x+1|-a）=0,显然,x=1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a,有且仅有一个等于1的解或无解,结合图形得a＜0．

（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立,即（x2-1）≥a|x-1|（）对x∈R恒成立,①当x=1时,（）显然成立,此时a∈R；

②当x≠1时,（）可变形为

a≤x2-1|x-1|,令φ(x)=x2-1|x-1|={x+1,(x＞1)-(x+1),(x＜1)

因为当x＞1时,φ（x）＞2,当x＜1时,φ（x）＞-2,所以φ（x）＞-2,故此时a≤-2．

综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤-2．

（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=

{x2+ax-a-1,(x≥1)-x2-ax+a+1,(-1≤x＜1)x2-ax+a-1,(x＜-1)（10分）

1当

a2＞1,即a＞22时,结合图形可知h（x）3在[-2,1]4上递减,在[1,2]5上递增,且h（-2）=3a+3,h（2）=a+3,经比较,此时h（x）在[-2,2]上的最大值为3a+3．

6当

0≤a2≤1,即0≤a≤27时,结合图形可知h（x）8在[-2,-1]9,[-a2,1]10上递减,在[-1,-a2],[1,2]上递增,且h（-2）=3a+3,h（2）=a+3,h(-a2)=a24+a+1,经比较,知此时h（x）在[-2,2]上的最大值为3a+3．

11当

-1≤a2＜0,即-2≤a＜012时,结合图形可知h（x）13在[-2,-1]14,[-a2,1]15上递减,在[-1,-a2],[1,2]上递增,且h（-2）=3a+3,h（2）=a+3,h(-a2)=a24+a+1,经比较,知此时h（x）在[-2,2]上的最大值为a+3．

16当

-32≤a2＜-1,即-3≤a＜-217时,结合图形可知h（x）18在

[-2,a2]19,[1,-a2]20上递减,在[a2,1],[-a2,2]上递增,且h（-2）=3a+3＜0,h（2）=a+3≥0,经比较,知此时h（x）在[-2,2]上的最大值为a+3．

当a2＜-32,即a＜-3时,结合图形可知h（x）在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,故此时h（x）在[-2,2]上的最大值为h（1）=0．

综上所述,当a≥0时,h（x）在[-2,2]上的最大值为3a+3；

当-3≤a＜0时,h（x）在[-2,2]上的最大值为a+3；

当a＜-3时,h（x）在[-2,2]上的最大值为0．

(1)由f(x)=x^2-x+aInx≤x^2得：alnx-x≤0 而当x≥1时lnx>0 所以a≤x/lnx在x≥1时恒成立

令g(x)=x/lnx，则g'(x)=[x'lnx-x(lnx)']/(lnx)^2=(lnx-1)/(lnx)^2，当1≤x<e时，g'(x)<0；当x>e时g'(x)>0

所以g(x)在[1,e)上单减，在(e,+∞)上单增 则g(x)的最小值为g(e)=e/1=e 所以a≤e

所以a的取值范围为(-∞,e]

(2)f'(x)=2x-1+a/x=[2(x-1/4)^2+a-1/8]/x，f(x)的定义域为(0,+∞)

1,当a≥1/8时，2(x-1/4)^2+a-1/8≥0，所以f'(x)≥0，f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增；

2,当a<1/8时，f'(x)=[2(x-1/4)^2+a-1/8]/x=2{x-{[√(1-8a)-1]/4}}{x-{[√(1-8a)+1]/4}}/x

①当a≤0时0<[√(1-8a)-1]/4<[√(1-8a)+1]/4，则：f(x)在(0,[√(1-8a)-1]/4)和([√(1-8a)+1]/4,+∞)上单调递减，在([√(1-8a)-1]/4,[√(1-8a)+1]/4)上单调递增；

② 当0<a<1/8时，[√(1-8a)-1]/4<0<[√(1-8a)+1]/4，则：f(x)在(0,[√(1-8a)+1]/4)上单调递减，在([√(1-8a)+1]/4,+∞)上单调递增。

解：（1）由数f（x）=x-alnx，所以f′(x)=1-ax，由题意得，f′（1）=0，所以a=1；

（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．

f（x）+2x=x2+b⇒x-lnx=x2+b⇒x2-3x+lnx+b=0．

设g（x）=x2-3x+lnx+b，则g′(x)=2x-3+1x=(2x-1)(x-1)x．

当x∈(0，12)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈(12，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．

所以g(x)min=g(1)=b-2，g(12)=b-54-ln2，g（2）=b-2+ln2．

方程f（x）+2x=x2+b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，则

g(12)≥0g(1)＜0g(2)≥0，解得54+ln2≤b＜2；

（3）∀x1∈[12，2]，∃x2∈[12，2]，使f（x1）≥x22+b成立，等价于

x∈[12，2]时，f(x)min≥(x2+b)min．

由f′(x)=x-1x，12≤x＜1时f′（x）0．

所以f（x）在[12，1)上位减函数，在（1，2]上为增函数．

所以f（x）min=f（1）=1．

而y=x2+b在x∈[12，2]上的最小值为14+b．

∴14+b≤1，∴b≤34．

∴b的取值范围为(-∞，34]．

(1)f(x)=x²-1 g(x)=aInx

所以f'(x)=2x g'(x)=a/x (x>0)

由题意f'(1)=2 g'(1)=a 所以a=2

(2)F(x)=x²-2aInx-1(x>0)

F'(x)=2x-(2a)/x

令F'(x)=0 则2(x²-a)/x=0 解得x=√a或-√a

①若a<0 那么F'(x)在定义域上>0 所以F(x)单调递增 没有极值

②a=0 同上 依旧没有极值

③a>0

F'(x）在（-∞,-√a)和(√a,+∞)大于0 在（-√a，√a）<0

所以F(x)在（-∞,-√a)递增 在（-√a，√a）递减，在(√a,+∞)递增

然后极值自己求吧 累死我了

（Ⅰ）由题意得：f（x）的定义域为：{x|x＞0}，

又∵f′（x）=1-

a

x

，

①当a≤0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，

令f（x）＞0，解得：x＞a，f（x）在（a，+∞）上单调递增，

令f（x）＜0，解得：0＜x＜a，f（x）在（0，a）上单调递减；

综上所述：

当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．

（Ⅱ）当a=2时，f（x）=x-2lnx-1，

∴f′（x）=1-

2

x

，

∴g（x）=x3+（1+

m

2

）x2-2x，

∴g′（x）=3x2+（2-m）x-2，

又g′（0）=-2，g（x）在（2，3）上不是单调函数，

∴

g(2)＜0 g(3)＞0

即：

3m+31＞0 2m+14＜0

，

解得：-

31

3

＜m＜-7．

∴实数m的范围是：（-

31

3

，-7）．

f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0），

f'(x)=a/x+x-(1+a)=[x^2-(1+a)x+a]/x=(x-1)(x-a)/x,

(1)(i)a=1时f'(x)>=0,f(x)(x>0)是增函数。

（ii)a>1时1<x<a,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数。

(iii)0<a<1时a<x<1,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数

(iv)a<0时0<x<1,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数

(2)f（x）≥0在区间（0，+∞）内恒成立,

<==>(1/2)x^2-x>a(x-lnx),x-lnx>0,

<==>a<[(1/2)x^2-x]/(x-lnx),记为g(x),

g'(x)=[(x-1)(x-lnx)-(x^2/2-x)(1-1/x)]/(x-lnx)^2

=(x-1)(x/2+2-lnx)/(x-lnx)^2,

设h(x)=x/2+2-lnx,则

h'(x)=1/2-1/x=(x-2)/(2x),

h(x)|min=h(2)=3-ln2>0,

∴g(x)|min=g(1)=-1/2,

∴a<-1/2,为所求

（3）n∈N+时，0<ln(n+1)<n(n+1)，

∴1/ln(n+1)>1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),

∴1/In2 + 1/In3 ++1/In(n+1)

＞1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)

=1-1/(n+1)

=n/(n+1)