三角函数转换公式

三角函数乘积变换和差公式：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2；cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2；sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2；sin(-α)=-sinα等。

任意角的三角函数，我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。

万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式），万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式。

正弦函数

sinθ=y/r

余弦函数

cosθ=x/r

正切函数

tanθ=y/x

余切函数

cotθ=x/y

正割函数

secθ=r/x

余割函数

cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数

versinθ

=1-cosθ

余矢函数

vercosθ

=1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

公式一： 

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等 

k是整数sin（2kπ+α）=sinα 

cos（2kπ+α）=cosα 

tan（2kπ+α）=tanα 

cot（2kπ+α）=cotα 

sec（2kπ+α）=secα 

csc（2kπ+α）=cscα 

公式二： 

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin（π+α）=－sinα 

cos（π+α）=－cosα 

tan（π+α）=tanα 

cot（π+α）=cotα 

sec(π+α)=-secα 

csc(π+α)=-cscα 

公式三： 

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系sin（－α）=－sinα 

cos（－α）=cosα 

tan（－α）=－tanα 

cot（－α）=－cotα 

sec(-α)=secα 

csc(-α)=-cscα 

公式四： 

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin（π－α）=sinα 

cos（π－α）=－cosα 

tan（π－α）=－tanα 

cot（π－α）=－cotα 

sec(π-α)=-secα 

csc(π-α)=cscα 

公式五： 

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin（2π－α）=－sinα 

cos（2π－α）=cosα 

tan（2π－α）=－tanα 

cot（2π－α）=－cotα 

sec(2π-α)=secα 

csc(2π-α)=-cscα 

公式六： 

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin（π/2+α）=cosα 

cos（π/2+α）=－sinα 

tan（π/2+α）=－cotα 

cot（π/2+α）=－tanα 

sec(π/2+α)=-cscα 

csc(π/2+α)=secα 

sin（π/2－α）=cosα 

cos（π/2－α）=sinα 

tan（π/2－α）=cotα 

cot（π/2－α）=tanα 

扩展资料：

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 （sinA）/a是通过A，B和C三点的圆的直径的倒数。

正弦定理用于在一个三角形中已知两个角和一个边求未知边和角；已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

——三角函数

导公式

把角α转化为kπ/2＋θ或者k×90°＋θ的形式，

然后记住两句口诀“奇变偶不变，符号看象限”

“奇变偶不变”的意思是说：

①如果k是偶数，那么α前面的三角函数符号不改变．

②如果k是奇数，那么α前面的三角函数符号要改变，改变的原则是：sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan

③“符号看象限”的意思是根据角α所在的象限确定最后的符号．

我举一个例子：

sin1730°＝sin(19×90°＋20°)

第1步：这里的k＝19是奇数，所以要把sin变为cos；

第2步：确定1730°的终边在第四象限，那么就知道sin1730°的符号是“－”

因此，sin1730°＝sin(19×90°＋20°)＝－cos20°

至于各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第1象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第2象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第3象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第4象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

如果你能领会这段文字的意思，那么诱导公式实际上只有一个．我在教学当中从来不要求我的学生记课本的诱导公式，要求他们按上面这段话理解诱导公式，效果很好的，你也试试吧