φ（ζ）、ψ（ζ）的求解

（1）边界条件式的积分处理

考虑隧洞开挖后没有支护，即洞周面力为0，将式（2-62）和（2-63）代入（2-61）式得：

小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究

根据上式若求得φ0（ζ）和ψ0（ζ），则代入式（2-62）和（2-63）边获得φ（ζ）、ψ（ζ）的具体表达式。将式（2-64）两边作柯西积分算子得到：

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根据Harnack定理解知方程（2-64）与式（2-65）等价，问题便化成了后一方程的求解。

（2）积分方程中的映射函数问题

在方程（2-65）中，共有三项积分算子中含有映射函数。前文23节中关于映射函数的研究，均是单位圆外无限域与原隧道洞室外无限域之间的映射（图28），根据研究结果知映射函数的项数为有限项，为使本节的研究更具一般性，本节中取k项，映射函数具体形式为：

图28 单位圆外无限域映射至隧洞外无限域

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Cn=An+iBn　　（2-67）

n和Bn均为实数，实际隧道断面尺寸确定后，按前文23节的方法可求得具体数值。

（3）柯西积分公式

一般的复变函数教材上只给出了一个柯西积分公式，该公式使用条件为被积函数f（z）在有限域S+内解析，积分算子里的点ζ也在该域内（图29），则

图29 柯西积分公式积分域

在闭围线γ上的积分值就等于解析函数在该点上的值即为：

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实际上柯西积分公式还有另外三个，称之为广义柯西积分公式，分别为：如果f（z）为S+内解析函数，则有

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如果f（ζ）为S-内解析函数，则有

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（4）φ0（ζ）的求解

根据柯西积分公式（2-70），易求方程（2-65）左边中间项的积分为：

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方程（2-65）右边第一项的被积函数为-2Bω（σ），根据式（2-66）易知ω（σ）中第一项和第二项为圆内解析函数，其他各项为圆外解析函数，由柯西积分公式（2-69）和（2-70）知该项积分为（用留数定理同样可以求得）：

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方程（2-65）左边第三项积分则要进行推导。由复变函数理论中关于圆的对称点原理知，如果ζ是单位圆外的点，该点关于单位圆的反射点为z（图210），则有：

图210 关于圆周的对称点

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设f（z）圆内点z的函数，定义f（ζ）为：

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由式（2-74）有：

f（ζ）＝f（z） （2-76）

不难证明，若f（z）是圆内的解析函数，则 是圆外解析函数，反之亦然。若 ζ是圆上的点，则z和 也必是圆上的点，因此有ψ0（σ）是圆外解析函数ψ0（ζ）在圆周上的值，则必有 是圆内解析函数 在圆周上的值。因此根据柯西公式（2-69），方程（2-65）左边第三项的积分为：

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方程（2-65）右边第二项的被积函数中含有因子ω（σ），因σ为单位圆上的点，即积分路径是固定在单位圆上的，因此由ω（ζ）的表达式，可对ω（σ）做如下变换：

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由此可知（2-78）右边展开项中第一项在圆内有原点这一奇点，并易知是一级极点，而其他各项在圆内均解析，因此，根据柯西公式（2-69）除第一项外其他各项的积分易知为0，而第一项的积分则转化为求留数问题，因此有：

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再来讨论方程（2-65）左边第一项的积分求解。令其被积函数为：

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其共轭为：

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φ0（ζ）是圆外解析函数，其一阶导数φ′0（ζ）也是圆外解析函数；ω（ζ）是将原隧道洞室外无限域映射到单位圆外无限域的映射函数，显然是单位圆外解析函数，因此ω′（ζ）亦是单位圆外解析函数。再讨论ω（σ），因σ为单位圆周上的点， 的展开式为（2-78），易知 为下式在圆周上的取值：

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显然式（2-82）是圆外解析函数。由上述讨论可知F（ζ）是单位圆外解析函数，而 是 在圆周上的取值；根据圆的对称点原理知，F（σ）是圆内解析函数 在单位圆周上的取值，故有

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由上述讨论结果即可求得φ0（ζ）为（略去常数项不影响应力和位移值）：

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（5）ψ0（ζ）的求解

将方程（2-64）等式两边取共轭得：

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对方程（2-85）两边作柯西积分算子得到：

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重复上述讨论和求解过程，可得

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接下去研究方程（2-86）左边第一项的积分，对该项积分要分两步讨论。当ω（ζ）中的项数k≤2时有：

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根据留数定量有：

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当ω（ζ）中的项数k＞2时有：

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由于σ为单元圆周上的取值，所以式（2-93）分子分母同上σ（k-1）后与原式子等价，因此有：

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式（2-94）分母中的C1，C2，…Ck为映射函数ω（ζ）的系数，显然整个分母的模不为零，式（2-94）相对应的函数在圆内解析。而与 相对应的函数 ，由式（2-82）知，第一项在单元圆内有奇点，而其他各项均为圆内解析函数，因此根据留数定理有：

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根据上述推导有：

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（6）φ（ζ）和ψ（ζ）的求解

将式（2-27）和（2-34）代入式（2-6）和（2-7）有：

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ψ（ζ）＝（B′+iC′）ω（ζ）+ψ0（ζ）

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同角三角函数的基本关系如下：

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。

(2)商数关系：＝tanα。

同角三角函数关系式的常用变形：

(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。

诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。

应用诱导公式时应注意的问题：

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。

(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。

令x=0，得y=1，令y=0，得x=1/2

过点(0，-1)，(-1/2, 0)画直线就是y=2x-1的图像。

k，b决定函数图像的位置：

y=kx时，y与x成正比例：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

当b=0时，直线经过原点O（0，0）。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

一次函数的函数性质

1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。

2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。

当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。

3、k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°）。

4、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

5、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；

当k互为负倒数时，两直线垂直。

6、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。

数学中的ζ

1 在化学中，ζ通常指代电位移，是一种描述电荷分布的物理量。

黎曼ζ函数是数学家黎曼在19世纪提出的一种特殊函数，其定义为：

3 在天文学中，ζ则是一种星座的名称，代表着天蝎座的一颗恒星。

数学中的ζ

2 在物理学中，ζ可以表示粘滞系数，是一种描述液体黏性的物理量。

将Excel表格中同一列数字相同位改成同一数字，可使用REPLACE替换函数实现。

方法步骤如下：

1、打开需要 *** 作的EXCEL表格，在空白单元格函数编辑框中输入：“=REPLACE（”，然后点击选择需要替换的原单元格。

2、继续在函数编辑框中输入：2,1,"1")，并按回车键即可。

3、返回EXCEL表格，选中下方单元格，通过键盘“Ctrl+D”，快速填充下方公式，可发现已成功将EXCEL表格中同一列数字的相同位改成另外的同一数字。

你是说在这些数据中找到有两个（或多个）相同位置数字相同的单元格，并标记为黄颜色，用vba可轻松实现

Sub Mac1()

Dim nRow As Integer

Dim nCol As Integer

Dim tmpRow As Integer

Dim tmpCol As Integer

Dim tmpTmpRow As Integer

Dim nBook As Workbook

Dim n As Integer

Dim tmpn As Integer

Dim myArray() As Integer

Set nBook = ThisWorkbook

nRow = nBookSheets(1)UsedRangeRowsCount

nCol = nBookSheets(1)UsedRangeColumnsCount

ReDim myArray(nCol)

For tmpRow = 1 To nRow - 1

For tmpTmpRow = tmpRow + 1 To nRow

n = 0

For tmpCol = 1 To nCol

If Cells(tmpTmpRow, tmpCol) = Cells(tmpRow, tmpCol) Then

myArray(n) = tmpCol

n = n + 1

End If

Next

If n >= 2 Then

For tmpn = 0 To n - 1

Cells(tmpRow, myArray(tmpn))InteriorColorIndex = 6

Cells(tmpTmpRow, myArray(tmpn))InteriorColorIndex = 6

Next

End If

Next

Next

End Sub