求下列幂级数的和函数 ∑(n=1,∞) x^nn(n+1),详细点

设S(x)=∑(x^n)/[n(n+1)]，n=1,2，……，∞，显然，S(0)=0。

∵x∈[-1,1）时，ln(1-x)=-∑(x^n)/n

∴∑(x^n)/n=-ln(1-x)

又，1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

∴S(x)=-∑(x^n)[1/n-1/(n+1)]=-∑(x^n)/n+∑(x^n)/(n+1)]

∴当x≠0时，S(x)=ln(1-x)-(1/x)[ln(1-x)+x]=(1-1/x)ln(1-x)+1

而x=1时，∑1/[n(n+1)]=1，收敛。

故，综上所述，x∈[-1,1]时，∑(x^n)/[n(n+1)]收敛。

且x=0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=0；x≠0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=(1-1/x)ln(1-x)+1。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数。

扩展资料：

从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。项越小，部分和就越倾向于有界。

由比值法判别收敛半径为1，当x=1时有莱不尼兹法则知收敛，x=-1时为p=1的p级数，发散。收敛域为(-1,1]

由已知常见函数收敛级数中的ln(1+x)=x-x^2/2++(-1)^(n-1)x^n/n+知所述函数收敛于函数ln(1+x)

如果bun用已知的级数展开，则参考书上得到该公式的过程抄下来就可。

解题过程如下图：

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

常用函数展开成的幂级数，如e的x次方，1/1+x，sinx，cosx等，将要求的幂级数向熟悉的几个形式转换，一般答案是几个常用和函数的变形或组合。（注意n从几开始取值，少了哪几项，巧妙变换n的初始值，运用等比数列的求和公式等等）。

x^2n/2^n=(x²/2)^n，令x²/2=t，级数求和来就变为Σt^n=1/(1-t)，再代回x，就得出图中结果。

这两个级数都用到一个公式：Σx^n=1/(1-x)，这里n是从0开始，到∞；当指数为n-1的时候，

n就从1开始。

扩展资料：

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递专增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

幂级数的和函数是n次部分求和，n趋于正无穷大时所得的极限，就是幂级数所有项的和，是关于x的函数。幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）^n（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

具体解析如下：

令an=nx^(n-1)     由a(n+1)/an=(n/(n-1))x<1可得。

|x|<1   所以收敛域为：|x|<1。

Sn=1+2x+3x^2++nx^(n-1)。

xSn=1x+2x^2+3x^3++nx^n。

相减得：(1-x)Sn=1+x+x^2++x^(n-1)-nx^n。

=1+(x(-1x^(n-1)))/(1-x)-nx^n。

取极限可得S=1+x/(1-x)=1/(1-x)   S即为和函数。

幂级数与解析函数：

幂级数局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。

根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即复可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。