12.有心力场中的运动

两个粒子的运动，可以化为单个粒子在有心力场中的运动，所以总是要考察有心力场中粒子的运动。

将两个粒子的哈密顿量经过巧妙的变换，变为了两个独立部分的和，对于波函数而言，就是将整体波函数变成了两个独立部分的波函数的乘积。于是，就将两个粒子的运动问题，变成了单个粒子在势能场中的运动了。

于是，由薛定谔方程，得到波函数的二阶微分方程，拉普拉斯算子采用球坐标中的形式，球坐标中的拉普拉斯算子的表达式，可以利用正交坐标系的性质，带入到张量分析中的公式，可以去求。感觉不太好算。

根据之前的内容，有心力场中的运动，角动量是守恒的，所以波函数可以分离变量，也就是径部和角部，角部就是球谐函数，由于角动量守恒，所以和之前的没什么区别。经过一些变换，可以得到径向函数的运动方程，这个方程非常重要。

波函数的径部，就是一端受限的一维运动，能级是非简并的，所以能量就可以区分不同的态，在加上角部的两个描述l，m。就构成了一组完全集，（E，l，m）。当这三个量确定了，系统的态就确定了，也就是说系统的波函数就知道了。因此系统的所有的态都可以通过这几个量来索引。为了方便描述，就对能级编号，0代表最低的能级，序号随能量增大而增大，这个序数称之为径量子数，对于l和m，本身就是整数值，所以不用再编号了，l称之为角量子数，m称之为磁量子数。这里就能解答高中化学中的一些疑问了，关于原子轨道的问题，像1s,2p,3d,4f,5g这种记号的来历，其实就是从这里出来的，角量子数l=0,1,2,3，约定记为s,p,d,f。所以，在那么早的时候，大家就已经在接触量子力学了，毕竟原子理论就是在这基础上建立的。

球谐分析方法是表示全球范围地磁场分布及其长期变化的一种数学方法。该方法由高斯于1838年首先提出。自高斯理论问世以来，地磁场的解析表达方式有了很大进展。高斯理论的目的是把地磁场表示为该点球坐标的函数（它不管地磁场形成的物理原因），虽然这一理论就其实质没有对地球磁场的成因作出解释，但是它可以解决有关地磁场的结构问题，因此得到了广泛的应用。

（一）球谐函数

磁源外部点的磁位U应满足拉普拉斯方程：

∇2U＝0

勘探重力学与地磁学

在球坐标下，解的形式为

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对（6-14）式来说，当n＝0，就意味着单极子的场，而磁性体是不存在单极子的情况，所以，n＝0的项不存在。

若以

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代入（6-14）式，则U为

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这就是常用的形式，式中：a表示地球的半径； 和 是内源场引起的球谐系数； 是 外源场引起的球谐系数。

（二）地磁场的球谐系数

经过分析研究认为，在地磁场观测的现有精度范围内，地球基本磁场几乎全部来源于地球内部。假定地磁场是由地球内部场源所产生的，则（6-15）式中就有 ，所以磁位可写成

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由此，地磁要素的表达式可写为

勘探重力学与地磁学

其中：

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以上是用球坐标（r，θ，λ）的表示，一个地磁台至少要观测这三个分量。

（6-17）～（6-19）式中：a是地球的半径（63712km）；r是地心到观测点的径向距离；θ表示地理余纬度；λ从格林尼治起算的地理经度； （cosθ）是施密特归一化（即正交型)n阶m次缔合勒让德函数，它按下面形式定义：

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其中：

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从上述分析可看出，当知道了球谐系数 和 就可以用上述公式计算地球表面或在它的外部（r﹥a）上的任意点的地磁要素值。下面介绍求解球谐系数的方法。

当在地球表面测出了X，Y，Z三个分量的数据以后，以这些点的各磁场分量的值以及该点经度λ和余纬度θ代入式（6-17），（6-18），（6-19）式中，则在式中只有 和 为未知数。因为以上这些方程是以无穷级数形式表示的，所以在实际计算时还必须取有限项数。如果限制级数展开到n阶项，那么球谐系数 和 的总个数就为N＝n（n＋2）。由此欲求解出 和 ，就要有不少于N个方程式才行。这样，若是对地磁场的某一分量观测，就要有N个以上的观测数据；若是对三个分量进行观测，就要有N/3个以上的测点数据。一般在实际计算时，为了提高计算精度，取的测点数都远远大于要求的值的数，并且用最小二乘法来解出这些系数值。在求出球谐系数 和 之后，就可以反过来计算出地面上不同λ和θ点的磁场。

（三）球谐级数各项的物理意义

尽管球谐分析是一种纯粹的数学形式，但是球谐级数的每一项都有它的一定的物理意义。

1中心偶极子磁场

在球谐级数中，当n＝1时，磁位方程可写成：

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另外，偶极子的磁位或者均匀磁化球体的磁位可表示为

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式中：θm表示磁余纬，如图6-16所示。

图6-16 地磁场径向偶极子模型示意图

设地球表面任意观测点P的地理坐标为（φ，λ），地磁北极Nm点的地理坐标为（φ0，λ0）。N为地理北极，则在球面三角形△NmPN中，（λ-λ0）角即两个经度之差。（λ-λ0）角的两个邻边 弧与 弧的大小分别等于（90°-φ）和（90°-φ0）。因此，根据球面三角余弦定理可有

cosθm＝sinφsinφ0＋cosφ0cosφcos（λ-λ0)

把cosθm代入（6-22）式即得

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地球磁矩m与磁化强度M的关系为

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式中：a表示地球半径。令

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则有

由（6-21）式与（6-24）式对比可知，当cosθ＝sinφ 时，两式的形式完全相同，而（6-21）式是由球谐分析得到的，（6-24）式是直接由均匀磁化球体的磁位公式推导的。由此可见，n＝1的球谐分析的磁位表达式就相当于中心偶极子的磁位。同时可看出， 相当于轴向中心偶极子的磁矩m0（指向南极），另两个相当于在赤道平面上的两个中心偶极子磁矩，即 指向东经180°， 指向东经90°（图6-17）。

图6-17 各种磁矩之间的关系

当φ0＝90°，即磁轴与地理轴重合时，（6-24）式仅剩下一项：

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这就是最粗略的轴向中心偶极子的磁位公式，由（6-23）式可得

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两边乘以4πa3，即得地球粗略的磁矩：

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当n＝1时，由（6-24）式可得磁场的各分量为

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以上分析可知，球谐级数的第一项，就磁位来说，相当于地球中心偶极子产生的磁位。其磁轴与地理轴一般不重合，只有φ0＝90°时才重合，中心偶极子模型在古地磁学中得到广泛应用。

2偶极子磁场与非偶极子磁场

在地磁场的球谐级数表达式中，只有n＝1的项称为中心偶极子场，除去n＝1的项，其余的项统称为非偶极子磁场。非偶极子场实际上是多个偶极子（或叫多极子）磁场。例如n＝2项代表四极子，n＝3项代表八极子等。

（四）国际地磁参考场（IGRF）

国际地磁参考场是地球基本磁场的定量描述。提出国际地磁参考场是为了计算地球基本磁场有一个约定的标准磁场，以便使各方面的研究工作结果得以统一。

国际地磁参考场是某一时期地球基本磁场及其长期变化的数学模型（由于地磁场是随时间变化的，所以有一系列的数学模型）。它由球谐（高斯）系数及相应的公式组成。1968年10月22～25日在华盛顿召开了关于“地球基本磁场的描述”座谈会，在会上正式提出了1965年的国际地磁参考场。国际地磁和高空物理协会（IAGA）的世界地磁测量部（WMS）于1968年10月28日，以及该委员会的执行委员会于1969年2月先后承认了这一国际地磁参考场（IGRF 1965)。由于地磁场不是恒定的，而且在不断地变化着（磁场的这种变化称为长期变化），所以球谐系数也是随时间系统变化的。国际地磁参考场也包括了表征地磁场年变率特点的 和 系数，即是系数 和 对时间的导数。

在国际地磁参考场（IGRF 1965)公布之后的20多年时间里，几经修改、补充，形成了十来个确定的主磁场模型。国际上规定每5年发表一次球谐系数及绘制一套世界地磁图。IGRF表示确定的地磁参考场，其高斯系数今后不再修改；每5年改变一次模型，即通过年变率的调整取得。表6-1给出了1990～1995年间IGRF球谐系数。

表6-1 1990～1995年代IGRF 球谐系数

续表

如上所述国际地磁参考场由一组高斯球谐系数（ ， ）和年变率系数（ ， ）组成。不同的模型，其系数一般也不同。利用各个模型的系数，算出相应的中心倾斜偶极子的磁矩值，可以了解地磁场长期变化情况以及各个模型间的衔接关系。

历代的球谐系数可以通过有关文献查到。建立国际地磁参考场的球谐系数是由准球面平均半径计算获得的，若要考虑地球形状为旋转椭球体时，则需要采用国际天文协会（IAU）的国际天体椭球坐标，取赤道半径为637816km，扁率为1/29825。利用球谐系数经地心坐标转换可以求得椭球体的参考场。这对大范围的磁测是必要的。

（五）区域地磁场模型

地磁场模型分为全球模型与区域模型。区域地磁场模型是表示或者描述地球表面某一地区（如某一国家或某一大洲）地磁场时空分布的数学方法。计算区域地磁场模型的数学方法是多种多样的，通常用的方法有多项式、球谐分析、偶极源、球冠谐和分析和矩谐分析方法等。不同的国家使用不同的方法建立各自国家或地区的地磁场模型。同一国家在不同年代采用不同的计算方法。例如，加拿大学者在1985年以前使用泰勒多项式方法计算加拿大地磁场模型，1985年以后则使用球冠谐分析方法计算加拿大地磁场模型。这里介绍三种应用比较广泛的计算区域地磁场模型的方法。

1多项式拟合法

建立区域地磁场模型应用最早，现在仍被广泛应用的分析方法是多项式拟合法。

多项式拟合法是将地磁要素以多项式表示为经、纬度的函数，或平面坐标的函数；表达式中不包括径向距离（或垂向距离）的项。这种计算方法简单易行，利用模型计算地磁场各要素比较快捷。其研究地区可达数百万平方千米，也可研究数十平方千米的尺度。多项式的阶数一般选为3左右。模型所刻画的最小波长与阶数及研究地区的大小有关，可用以下方法估计：一个n阶多项式在任何涉及的区间L内最多只有n个零点，因此用一个n阶多项式近似地表示的最小波长的估计值λ＝L/［（n-1）/2］。一般在互相垂直的两个方向（如东西—南北）采用相同的阶数，但若研究地区两个方向的跨距不同，或考虑到磁场分布特点，采用不同的阶数较合理。

多项式拟合法是一种纯数学的方法，没有考虑地磁各要素间的几何约束（各要素间应满足的一定关系）以及物理约束（矢量场的旋度、散度应为零）。此外，也不能用这个模型求得观测平面上部空间的磁场。

中国、美国、日本及其他一些国家都采用或曾经采用泰劳（Tayler）多项式建立各自的地磁场模型。

美国的一些学者用多项式拟合区域地磁场，用的阶数较高，为7～9阶。由于美国本土东西长而南北短，有人在两个方向上用不同的多项式来进行拟合。

中国学者在20世纪80～90年代，利用我国历年来的地磁观测资料，以及部分国外地磁台站资料、确定的国际地磁参考场（DGRF）值，以三阶泰勒多项式拟合方法，建立了中国地区19500，19690，19700和19800的基本磁场模型，记为CHINAMF。以磁偏角D为例，地磁场磁偏角D的地理分布，用地理经度（λ）和地理纬度（φ）的泰勒多项式来表示：

勘探重力学与地磁学

式中：λ0，φ0代表展开原点的经度和纬度，并取φ0（N）＝36°，λ0（E）＝106°；a0，a1，…，a9是待定的系数，用最小二乘法求出。

表6-2列出了1980年中国地区基本磁场模型的系数。

表6-2 1980年中国地区基本磁场模型的系数

中国地区基本磁场（主磁场）模型CHINAMF1980与DGRF1980比较结果表明，在我国新疆北部边境和黑龙江北部边境，两种模型相差较大（如总场强度的差值可达400nT），而在其他边界地区，两种模型吻合较好［总场强度的差值为几十纳特］对于中国陆地，其精度是高的，但对于中国海域，其精度就要差一些。我国的一些学者认为，各个年代的主磁场模型可以作为研究中国地区磁异常的正常背景场，但在使用时要注意上述问题。各地的正常磁场值，可用（6-17）式、（6-18）式和（6-19）式及表示I，H，T的类似公式以及表6-2中列出的系数算出。

2矩谐分析法（RHA）

应用矩谐分析方法建立区域地磁场模型主要是为了能够反映较短波长的地磁场特征。Alldredge于1981年指出了用球谐分析的方法表示区域地磁场的困难之后，提出用矩谐分析的方法表示区域磁异常。

矩谐分析方法采用直角坐标系。为了进行矩谐分析，首先必须将地理坐标系（地心的或大地测量的）中各个测点位置的坐标及磁场观测值转换到直角坐标系统，一般以所要分析区域的中心作为直角坐标系的原点（图6-18)。然后将磁位或场的分量展成正交的谐和函数级数（正弦、余弦及一个幂函数），用最小二乘法求出系数。一般是先将观测值减去IGRF值，得到残值，利用残值进行矩谐分析。

图6-18 矩谐分析法直角坐标系

图中P点是地面上的一点（余纬θ，东经λ)，也是平面直角坐标系x，y，z的原点，Q是研究区中的任意点。

在直角坐标系中，磁位的拉普拉斯方程解，可写成

勘探重力学与地磁学

式中：j＝q-i＋1；v＝2π/Lx；w＝2π/Ly；u＝［（iv）2＋（jw）2］1/2；Lx，Ly是研究地区的边长；A，B，C是常数；Dij，Eij，Fij，Gij均为待定常数。磁场的分量可由下式求出：

T＝-μ0∇U （6-28）

由于矩谐分析是用一个平面来近似球面，因此建模的面积不能太大，一般在（3000×3000）km2左右。此种方法在研究区域的边缘会发生振荡现象，需采取相应的技术进行处理。

Alldredge用RHA利用12个地磁台的数据分析了欧洲的地磁场，研究区为矩形区域，东西长3600km，南北宽2800km。Barton用RHA建立了澳大利亚地磁参考场（AGRF 1985），他使用了86个台站的资料，研究区东西为4800km，南北为5200km。我国徐文耀、朱岗昆也采用RHA对我国及邻近地区地磁场进行分析，矩形区域东西长8000km，南北宽6000km，使用了86个台站的数据。

Schroedinger方程没有几个可以解析求解的。

也就是那么几个

无限深方势阱（还有particle in a box）

有限深方势阱

势垒散射，隧穿

简谐振子

氢原子算最难的了，拉盖尔多项式+球谐函数，估计不会考推导，但是要记住

其他的公式要会推

记住所有的波函数的形式，能量公式

势垒隧穿要记住透射系数和散射系数

经典电荷密度：

假设，一个体积为V的载电体，其电荷密度po是均匀的，跟位置无关，那么，总电荷量Q为Q＝poV。

假设，在某一区域内有N个离散的点电荷，像电子。那么，电荷密度可以用狄拉克函数来表达为p（r）＝2qi8（r－ri）；其中，r是检验位置，q；是位置为r；的第i个点电荷的电量。

扩展资料：

ψ（r）在量子力学里，类氢原子的中心有一个正电性的原子核，环绕着原子核四周的－－个电子的轨域，其电荷密度可以用波函数表达为［2！

p（r）＝q．｜ψ（x）｜2；其中，q是电子的电荷量。

注意到｜4（r）｜2是找到电子的概率。经过归化，在全部空间找到电子的概率是14（r）pd＊r：

＝1；Jall8pace例如，氢原子的波函数ypntm（r）是

ynlm（r）＝Rn（r）Y＂（0，φ）；其中，Rmi是径向函数，Y＂（O，φ）是球谐函数，是主量子数，I是角量子数，m是磁量子数。

参考资料：

能量把所有维度能量直接相加（不要忘了零点能），波函数就所有维度各自对应的波函数直接相乘就完了啊。当然三维各向同性谐振子还存在一种用球谐函数来写的表示。

对应于一个s维各向同性谐振子，E(n1,n2ns)=(n1+n2++n2+s/2)hw

所有N=n1+n2++ns相等的态简并，这个态的简并度等价于求N分成s个数（可以是0，顺序有关）的分法，下面我们来求这个数。

上面这个问题等价于把N+s分成s个非零的数之和（最后分完了我们再让每个数减1就行），然后这个问题就等价于在N+s个点之间插(s-1)块分割板的方法，答案就是C(s-1,n+s-1)=C(n,n+s-1)

缀是prt的文件应是结构设计文件，proe 的零件文件的后缀就是prt

UG公英制转换

第一：只进行单位转换，保证实际长度一致

1开始－>程序->unigraphics NX->unigraphics tools->ug command prompt

2 cd d:\eds\ugnx\ugii

3 ug_convert_part -mm d:\prt当然，进行上面 *** 作时，不要用UG打开prt， *** 作完成后再打开，可以看到单位已经转换。

第二：进行单位转换，保证数值一致，实际长度自动放缩

1 用UG打开prt，进入modeling

2tools->expression->export，生产exp文件，然后close prt

3开始－>程序->unigraphics NX->unigraphics tools->ug command prompt

4 cd d:\eds\ugnx\ugii

5 ug_convert_part -mm d:\prt

6 用UG重新open prt，进入modeling

7 tools->expression->import，选择replace existing 选项。

ok，到此全部完成。

如果要实现从毫米转换到英寸，只需要把-mm 改为-in

另外，你也可以用SOLIDWORKS软件打开，迅雷下载地址是 http://wwwgougoucom/searchsearch=SOLIDWORKS&id=0

原子轨道

atomic orbit

描述原子中单电子处于真实的（如氢原子或类氢离子的单电子体系）或假定的（即有效的,如多电子原子的电子体系）中心势场中束缚态波函数的空间部分,即单电子薛定谔方程（1）ψ（1）＝Eψ（1）的解ψ（1）称原子轨道式中,为单电子哈密顿算符；μ＝mM／(m＋M),为约化质量；h＝h／2π,h是普朗克常数；▽2是拉普拉斯算符；m、M分别是电子和原子核的质量；V(r)是单电子真实的或假定的有效势函数；h（1）和ψ（1）中的数字1表示单电子空间坐标（以核为参考点）

氢原子和类氢离子是由一个电子和原子核组成的双粒子体系,引入质心坐标以后,求解电子相对于核的相对运动方程,得到电子的波函数ynlm（r,θ,）=Rnl（r）Ylm（θ,）,式中n＝1,2,3,…,为主量子数；l＝0,1,2,…,－1,为角量子数；m＝0,±1,±2,…,±l ,为磁量子数；Rnl（r） 是原子轨道的径向部分；Ylm（θ,）是球谐函数,即原子轨道的角度部分通常用符号s,p,d,f,…等依次代表l＝0,1,2,3,…,故n＝2,l＝0的状态的原子轨道可写为ψ2s,n＝3,l＝2的状态可写为ψ3d,余类推多电子原子轨道通常用自洽场方法求解单电子函数满足的哈特里福克方程获得

上面那些是在网上找的 我看了也有挺多都不懂的

就是上面说的那个 主量子数它表示核外电子出现的离核的平均距离

角量子数 描述原子轨道的形状

磁量子数是原子轨道空间的伸展方向

自旋量子数 就是说明是顺时针还是逆时针

然后是用那个波函数把 三个量分成了两部分 一部分是 径向部分 一部分是角度部分

无机化学这部分比较抽象 好好努力吧 多看看图 记住那些常见的电子云的分布 能写出电子层的分布 解决一些基本的简单的问题就可以了

你这问题好早以前就看到了，只是嫌麻烦不想回答，貌似没人能搞定嘛……

这是氢原子轨道的解，我实在不想把它完整打出来。。。

你随便找一本物质结构方面的书或者是量子力学的教材也行，解氢原子的薛定谔方程，都会有，这个是非常基础的东西。

首先这是一个2p轨道的波函数，那个py的意思是其轨道的对称轴是y轴，

氢原子波函数可以分解成径向和角向的，径向函数的解Rnl，n是主量子数，l是角量子数，

其角向的解释球谐函数Ylm，l是角量子数，m是角动量z分量，

ψ211实际上就是R21乘以Y11，ψnlm就是主量子数为n，角量子数为l，角动量z分量为m的特征波函数。

径向方程的解本身是实函数，但是求解的球谐函数Ylm是有可能为复数的，

这里面Y11和Y1-1对应的球谐函数里面分别是-kexp（iΦ）以及kexp（-iΦ），你可以查数学的公式，前面的系数k=（√3／8π）sinθ，

显然-exp（iΦ）-exp（-iΦ）=-（sinΦ+iconΦ+sin（-Φ）+icos（-Φ））=-（2icosΦ）=-2icosΦ

这显是一个复数解。

但是我们知道，对于一个波函数，我们要对其进行归一化，同时，我们知道对于一个波函数，其乘以一个常系数不影响其解的概率分布情况。

因此，并不是解的本身是一个复数，而是我们习惯上是希望得到一个实数解，这里乘以一个常系数是不影响其波函数，但是通过除以i可以将波函数化成一个实函数，这是我们想要的比较方便的解。

当然，也可以从另一个角度来理解这个问题，曾谨言的《量子力学》书上有这样一个证明，如果一个函数是薛定谔方程的解，那么这个函数的复共轭同样是薛定谔方程的同一个本征值下的解。因此，如果一个薛定谔方程的解有复数，那么利用上面的关系，对同一个本征值的本征解及其复共轭求差，得到的仍然是该本征值的解，只是这个解是特征解的线性组合。这里py波函数就是p轨道特征解ψ211和ψ21-1的线性组合，由于其具有相同的本征值，所以这也是p轨道的一个解。当然实际上这里ψ211之类是以z轴来考虑的，因此得到的本征解是用z分量的本征解的线性叠加来组成，如果你考虑pz，那么就是一个本征解就可以表述了。（px、py、pz本质上是一样的，只是由于定义了方向，因此各自具有取向，你可以看看三者在空间的分布情况，是一样的。）

啰啰嗦嗦扯了好多，不知道你能看懂多少，希望对你有帮助吧~