怎么判断函数奇偶性？

（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性

（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称

若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称

（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

扩展资料

函数的早期概念：

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

-函数奇偶性

解析：f(x)=(sinx)^n；f(-x)=[sin(-x)]^n=(-sinx)^n=[(-1)sinx]^n=(sinx)^n(-1)^n；n为奇数时，f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数；n为偶数时，f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

判断函数的奇偶性方法介绍如下：

1、根据奇函数和偶函数的定义进行判断

满足f(-x) = f(x)，则为偶函数；满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数。

2、根据函数的图像进行判断

函数的图像关于y轴轴对称（函数的定义域一定是关于原点对称的），则为偶函数；函数的图像关于原点中心对称（函数的定义域一定是关于原点对称的），则为奇函数。

奇偶函数在对称区间上的单调性、值域特点

1、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

2、奇函数在对称区间上的值域关于原点对称，偶函数在对称区间上的值域相同。

特别的，如果一个奇函数的定义域中含有0，则必有f(0)=0。

如何研究函数？我们不妨按照高中课本的顺序来捋一捋

首先研究它的定义域，x>0，且x≠1

想要看值域的话好像并不是那么容易，x>1的话，函数值为正，x<1的话，函数值为负

看这个定义域就知道没有奇偶性了，对称性也很难考虑到。

零点看分子就知道了，没有。

单调性借助导函数看应该更快一点，y'=lnx  -1）/ln²x，从这里很明显看出来，在（e，+∞）上增，在（1，e），（0，1）上递减，所以此时值域好像更明确了一点，x>1时，y>e（因为靠近1的右边时候，分母无穷小）0<x<1时，y<0（同样靠近1的左边时，负无穷大，至于为什么小于0，这得用到洛必达法则）

y＝sin（wX+Ф

为奇函数

<=>

-y＝sin（w（-X）+Ф）

<=>

-

sin（wX+Ф

）＝sin（w（-X）+Ф）

<=>

-(sin

wx

cos

Ф

+

cos

wx

sin

Ф

)

=

-

(

sin

wx

cos

Ф

-

cos

wx

sin

Ф

)

<=>

2cos

wx

sin

Ф

=

0

<=>

Ф

=

kπ

其实也可以这么理解：

令G=

wX，则y＝sin（wX+Ф）可视为

y=

sin(G+Ф)和G=wX的复合函数

对于复合函数：

若外层函数是奇函数，其自变量是奇函数则复合函数为奇函数，其自变量为偶函数则为偶函数；若外层函数是偶函数，其自变量是奇函数则复合函数为偶函数，其自变量为偶函数仍为偶函数。

因为y

=

wx

为奇函数，所以要使

y＝sin（wX+Ф

）为奇函数，只要

y＝sin（x+Ф

）为奇函数就行