二元函数极值存在判定条件是什么

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

连续是充分条件，有界是必要条件。

这个用二元函数的达布定理可以证明。

设函数f（x）在［a，b］区间上可导，虽然导函数未必连续，但是却具有“介值性”。

简单说：若f'+（a）>0，f'-（b）<0，则在（a，b）内至少有一点c，使得f'（c）=0。称这个命题为“达布定理”。这是导函数的一个重要特点。其证明如下：

由于f'+（a）>0，知lim［f（x）-f（a）］/（x-a）>0，根据极限的保号性，在a的右邻域内f（x）>f（a）。

这说明f（a）不是最大值。

同理，f（b）也不是最大值。

f的最大值只能在（a，b）内部某一点c处取得，c必为极大值点，根据费马定理，f'（c）=0。

所谓二重极限存在

P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，还不能由此断定函数的极限存在但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

-二元函数

y不变，x换成-x，函数值不变，关于y轴所在平面x=0对称（对x是偶函数）

y不变，x换成-x，函数值变成相反数，关于y轴对称（对x是奇函数）

关于y同理

如果该函数z=f(x,y)中的y替换成-y, 表达式不变， 即

f(x,y)=f(x,-y)

则该函数关于zox平面对称

含义

如果函数f（x，y）在区域D内的每一点处都连续，则称函数f（x，y）在D内连续。

一切二元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。

在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

主要就是拉格朗日微分中值定理：

（1）存在一个闭区间［a,b]，内f(x) = y有意义。

（2）f(x)在［a,b]连续。

（3）f(x)在（a,b）内可导；那么，在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ＜b），使得下式成立：f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a）初等函数（比如二元函数）一般都可导，主要是连续的条件。

罗尔定理

如果函数f(x)满足：

在闭区间［a,b]上连续。

在开区间（a,b)内可导。

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)。

那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。