傅里叶级数

线性时不变系统对复指数信号的响应也是同一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化

系统对信号输出响应是一个常数乘以输入，则该输入信号为系统的特征函数，该常数为特征值（和线代概念类似）

复指数信号就是线性时不变系统的特征函数

输入为：

输出为：

成谐波关系的复指数信号集

一个连续时间周期信号可以由成谐波关系的复指数信号的加权和表示

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

不同频率的系数为：

为直流分量或常数分量

连续时间周期信号的傅里叶级数近似

当 时，

1 在任何周期内， 必须是绝对可积

2 在任意有限区间内， 具有有限个起伏变化，也就是说，在单个周期内，最大值和最小值的数目是有限的。

3 在有限区间内，只有有限个不连续点。

满足狄里赫利条件的周期信号，在不连续点傅里叶级数收敛于不连续点左右值的平均值吗，在其他连续点收敛于原信号点。

在不连续点附近的连续位置，当N增加时，傅里叶级数和原信号越来越接近，但是对任意N值，起伏的峰值大小保持不变

因为离散时间复指数信号，频率加 和本身相同，因此实际上只需要N个谐波。

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。



x(

质量－d簧系统的力学模型

非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

（，…）

傅立叶系数：

式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图

 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶

级数并画出频谱图 解：

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数

频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式

或

 傅立叶级数的复指数形式

 复数傅里叶系数的表达式

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此

#

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

 cn的复指数形式

共轭性还可以表示为

即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

（等于三角

函数模的一半）

相角相等）

用cn画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-图:n-

相频谱，

第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：

Imcn-；也就是an-和-bn- #

§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类： a准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（222）借助（216）演变成：

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)

X(ω)的傅里叶反变换x(t):

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

数。  对应关系：

X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为

 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X( f ) 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

幅值频谱图

相位频谱图

()

实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω

) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性

（二）对称性

（注意翻转）

（三）时移性质

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质

（注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性

（六）微分性质

（七）卷积性质

（1）卷积定义

（2）卷积定理

三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数：

(t)

0)

定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值：

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

xx(t0)(tt0)

函数值：

强度：

结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2

(b) 利用结论2

结论：平移

x(t

（三）脉冲函数的频谱

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

（利用时移性

质）

（利用对称性

质）

（对上式，

再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱

余弦函数的频谱



(f)

正弦函数的频谱

(f)

傅立叶变换的公式为：

即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

扩展资料

如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

-傅里叶变换

符号函数不是绝对可积的函数，不存在常义下的傅里叶变换。在考虑广义函数的条件下是可求的，但不能用定义式F(jw)=∫f(t)e^{-jwt}dt来求，可以这样求：

首先已知F{δ(t)}=1，且2δ(t)=d(sgn(t))/dt。根据频域微分定理F{f'(t)}=jwF{f(t)}，有F{2δ(t)}=jwF{sgn(t)}，得到F{sgn(t)}=2/(jw)