三角函数的最值怎么求？详细解答……

一、函数法

对于形如y=af²(x)+bf(x)+c  (其中f(x)=sinx、cosx 或 tanx等)型的函数，可构造二次函数y=at²+bt+c利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。

求函数Y=cos²x+sinx在区间[-π/4,π/4]上的最值

解：令sinx=t    ∵x∈[-π/4,π/4]   ∴ t∈[-√2/2,√2/2]

∴y=cos²x+sinx=­­-sin²x+sinx+1=-t²+t+1=-2(t-1/2 )²+5/4

这是一个关于t (t∈ [-√2/2,√2/2]) 的二次函数，其图象是开口方向向下的抛物线的一部分

∴当t=1/2 即 x=π/6 时， ymax=5/4

当t=-√2/2即 x=-π/4时，ymin=(1-√2)/2

二、数形结合法

对于形如 y=(a+bsinx)/(c+dcosx)  型的函数，往往可用数形结合法来求最值。

求函数y=(√3+sinx)/(1+cosx)的最小值

解：y=[sinx-(-√3)]/[cosx-(-1)]

根据函数表达式的几何意义可知是圆x²+y²=1上的任一点B与定点A(-1,-√3)的连线斜率

而显然可知当连线AB是圆的切线时，斜率最小，ymin=tan30°=√3/3

三、换元法

对于形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c  型的函数，可采用换元法求解

求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的值域

解：y=(1+sinx)(1+cosx)=1+sinx+cosx+sinxcosx

令t=sinx+cosx，则t∈[-√2,√2]，sinxcosx=(t²-1)/2

∴原函数y=1+t+(t²-1)/2=(t+1)²/2

∴当t∈[-√2,√2]时，函数的值域为[0,(3+2√2)/2]

四、放缩法

已知x∈(0，π/2)，求函数y=3^(cos²x) +3^(sin²x)的最小值

解：有均值不等式a+b≥2√(ab)有：

y=3^(cos²x) +3^(sin²x)≥2√[3^(cos²x) 3^(sin²x)]=2√[3^(cos²x+(sin²x)=2√3

当且仅当3^(cos²x)=3^(sin²x)即x=π/4是取等号

∴函数的最小值为ymin=2√3

五、向量法

求函数f(x)=3sinxcosx-4cos²x的最大值。

解：∵f(x)=3sinxcosx-4cos²x=(3/2)sin2x-2cos2x -2

设向量a=(-2，3/2)，向量b=(cos2x，sin2x)

而向量a·向量b≤|向量a|·|向量b|

∴-2cos2x +(3/2)sin2x≤√[(-2)²+(3/2)²]√(cos²2x+sin²2x) =5/2

∴函数-2cos2x +(3/2)sin2x -2≤1/2  ∴f(x)max=1/2

其实求三角函数和的最值的方式是不一而论的，对于每个人来说可能都有不尽相同的方式。

只要自己找到适合自己的解题方式就好，无需去想着别人的方法。

要看是什么样的函数了；如果是一次函数的话那么在闭区间[a,b]在起点和终点的函数值分别是它的最小和最大值；如果是二次函数的话就要分情况来讨论了，（1）开口向上的时候，在定义域内有最小值；若是给一个区间范围还要看看这个区间包括顶点和不包括顶点两个类，包括顶点那么顶点就是函数的最小值，不包括顶点的是后如果区间在函数对称轴的右侧那么起点的函数值是最小值，如果区间在函数对称轴的左侧那么终点的函数值是最小值；（2）开口向下的时候，在定义域内有最大值；若是给定一个区间范围也要看这个区间是否包括顶点；如果包括顶点那么顶点的纵坐标就是函数的最大值，如果不包括顶点的且区间在对称轴的左侧那么终点是函数的最大值，相反起点的函数值是函数的最大值；还有指数函数对数函数的最值的求法，都要讨论函数在所给的定义域内的单调性；然后再来求函数的最值。

求函数最小值的方法如下： 

1判别式求最值

主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。根据二次方程图像的特点，求开口方向及极值点即可。

2函数单调性

先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值

3数形结合

主要适用于几何图形较为明确的函数，通过几何模型，寻找函数最值。

扩展资料：

如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。

因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

函数值域最值常用的方法

1） 利用基本函数求值域法：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域 例1：y=1/(2+)

2） 反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，可以通过求反函数的定义域而得到原函数的值域 对形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函数可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x属于[-3,-1]

3） 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域问题，均使用配方法。

4） 换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而给出原函数的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均为常数，且a=!0)的函数常用此方法求解(注意1新元的取值范围，即换元后的等价性2换元后的可 *** 作性) 例4已知函数f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),则函数f(x)的值域_________

5） 判别式法将函数转化为x 的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根，判别式>=0,从而求得函数的值域，形如 (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解。（分子，分母没有公因式；此时函数的定义域是全体实数）例5：;

6） 不等式法：利用基本不等式： 应用此法注意条件“一正二定三相等”例6：若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+的值域为_____

7） 数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离，斜率等，可用数形结合的方法。 例7:对a,bR设max{a,b}=求函数f(x)=max{},的最小值

8） 导数法：

9） 已知函数的值域，求函数中待定字母的取值范围 9例9：已知函数f(x)=的定义域，值域是[0,2],求m,n的值域。

函数的图像

1：函数图像的基本做法：1）描点法

2） 图像变换法

3） 做图像的一般步骤：a求出函数的定义域；b讨论函数的性质（奇偶性，周期性）以及函数上的特殊点（如渐近线，对称轴）c利用基本函数的图像画出所给函数的图像

2：函数变换的四种形式：

1)平移变换左加右减

2)对称变换 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分别关于y轴，x轴，原点，直线y=x对称。

b:若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(m-x),则y=f(x)的图像关于x=m对称；

c:y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）成中心对称

3)伸缩变换:y=af(x) y=f(ax)

4)翻折变换 y= y=f()

3函数图像的对称性

1） f(-x)=-f(x) 图像关于原点对称

2） f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称

3） y=和y=f(x) 图像关于y=x对称

4） f(a+x)=f(a-x) 图像关于x=a对称

5） f(a+x)=-f(a-x) 图像关于(a,0)对称

函数单调性

判断函数单调性的常用方法：

1） 定义法

2） 两增（减）函数的和还增（减）；增（减）函数与减（增）函数的差还是增（减）函数；

3） 减函数在对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性、

4） y=f(x)在D上单调则y=f(x)在D的子区间上也单调，并且具有相同的单调性。

5） y=f(u),u=g(x)单调性相同，则y=f(g(x))是增函数；单调性相反，则y=f(g(x))是减函数（同增异减）；

6） 互为反函数的两个函数具有相同的单调性

7） 利用导数判断函数的单调性

8） 抽象函数的单调性：做差；做商（注意分母不为零且同号）。

9） 关于函数f(x)=x+a/x(a>0)单调性及应用

例1：函数在定义域上是减函数

例2： 已知函数f(x)=+a/x在[2,+）单调增，求a的取值范围

例3：函数f(x)=,g(x)=x(2-x)的单调区间

例4：函数f(x)对任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0是，f(x)>1,求证f(x)是R上的增函数。

例5：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管及其他费用为平均每吨每天三元，购买面粉每次需要支付运费900元。

（1） 求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买的面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？说明原因。

例6：已知f(x)为R上的减函数，求满足< f(1)的实数x的取值范围。

例7：是否存在实数a是函数f(x)= 在[2,4]上市增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，请说明理由。

函数的奇偶性

1：定义:y=f(x), 定义域关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x) （原点有定义有f(0)=0）

2奇函数，偶函数的图像的性质：

奇函数图像关于原点对称；

偶函数图像关于y轴对称。

3判断奇偶性方法

1） 定义

2） 定义变形：f(-x)+f(x)=0（）为奇函数； f(-x)-f(x)=0（）为偶函数。

3） 函数奇偶性满足下列性质：奇+奇=奇；偶+偶+偶；

奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇。

4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性； 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

周期公式：

1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；

例1：f(x)=lg()

例2：

例3：

例4：

例5：在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]是减函数，讨论f(x)[-2,-1]和[3,4]上的单调性。

例6：已知f(x)是偶函数，且在[）是增函数，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恒成立，求实数a的取值范围

例7：已知 其中a,b,c,d为常数，若f(-7)=-7求f(7)

周期公式：

1：若函数关于直线x=a和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

2:若函数关于点（a，0）和（b，0）对称。则函数f(x)为周期函数，2是它的一个周期；

3若函数关于点（a，0）和直线x=b对称。则函数f(x)为周期函数，4是它的一个周期；

求函数解析式常用方法：

（1）定义法：有已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x),改写成g(x)的表达式，然后以x代替g(x), 使得f(x)的表达式常需“凑配”。

例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2)求f(x)的解析表达式。

（2）变量代换法：有已知条件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然后反解出x=g-1(t)带入F(x),即可得f(x)的表达式。

例2：f(e x-1)=2x2-1求f(x)的解析表达式

（3）待定系数法：又是给定函数特征求函数的解析式，可用待定系数法。例3：函数是二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a不等于零)。期中a,b,c是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出abc

例3；设二次方程f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)。且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22（1/2），求f(x)的解析式。

（4）函数方程法：将f(x)作为一个未知量来考虑，建立方程组。消去另外的未知量便得f(x)的表达式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表达式

（5） 参数法：引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式子（即参数方程），再消去参数就得f(x)表达式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表达式

（6）赋值法:对于抽象函数f(x),如果满足条件中对一切实属成立。那么对于特殊值仍然成立。我们就可以赋予特殊值。 例6：已知f(x)满足：f(0)=1,且对任意的x,y属于R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x)

（7） 根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况须引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式。

一次二次函数

1 一次函数

a形如y=kx+b 叫做一次函数值域R；b=0,y=kx叫做正比例函数

b一次函数的k叫做直线y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。

c函数图像（性质）：

1已知函数y=(2m-1)x+1-3m,求m为何值时：

这个函数为正比例函数；

（2）这个函数为奇函数

（3）函数值y随x的增大而减小

2一次函数y=(3a-7)x+a-2的图像与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围______

3已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求实数m的取值范围。

4关于x的方程ax+1=|x|有两个不同的实根，求实数a的取值范围

2 二次函数

a形如 叫做二次函数

值域 a>0 ; a<0

b二次函数有三种形式 A: 一般式

B :顶点式

C 两根式

c二次函数的基本概念： 1对称轴

2顶点坐标 3零点（根）

4韦达定理 5

d 一元二次方程的判别式

e函数图像：（性质）

1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，试确定二次函数

2二次函数的顶点坐标（2，3）且经过点（3,1）求这个二次函数的解析式

3已知抛物线与x轴交与点A(-1,0),B(1,0)，并经过点(0,1),求抛物线的解析式

4已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,他的图像截x轴所得的线段长为8,求解析式

5二次函数的图像如图所示，则点P（a, ）第几象限_____

6以为自变量的二次函数,m为不小于0的整数，它的图像与x轴交与点A和点B，A在原点的左边，B在原点的右边。求这个函数的解析式画出这个二次函数的草图

7如图，抛物线与x轴交与A,B两点且线段OA:OB=3:1则m=_______

8已知函数

（1） 求对一切x，f(x)的值恒为非负实数时a的取值范围；

（2） 在（1）的条件下，求方程的根的取值范围

9正方形CDEF的边长为4，截取一个角得五边形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一点P使矩形PNDM有最大面积

函数的应用

1将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖100个，若这种商品价格每上涨一元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？

2一次时装表演会预算中票价每张100元，容纳观众人数不超过2000元，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图像如右图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）：

（1）当观众人数不超过1000人时，毛利润y关于观众人数的函数解析式和成本费用 S（百元）关于观众人数x的函数解析式

（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润。那么需要售出多少张门票？需付成本费多少元？

3某蔬菜基地种植西红柿，有有历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用下图（1）的一条折线表示。西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示。

（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系Q= g(t);

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

2函数的零点

函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数的图像与x轴的交点的横坐标。零点概念体现了函数和方程之间的密切联系

勘根定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c就是方程的f(x)=0 根

1函数f(x)=的零点是______

2函数的零点所在的大致区间是______

3已知函数的图像如右图所示，求b的取值范围______

4方程的两根分别在区间（2,3）（3，4）之间，求的取值范围

5方程有一非零根，方程有一非零根，求证方程必有一根介于之间

6求证方程在（0,1）内必有一个实数根

7函数的零点大致区间在_________

8已知函数恒有零点，求a的取值范围

9关于x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范围

10根据函数的性质，指出函数的零点所在的大致区间

二分法：不讲

A函数的性质应用

1已知定义域为R的函数是奇函数

(1)求a,b的值

1函数奇偶，单调性解决问题2脱掉f利用函数单调性3注意函数定义域的限制

(2)若对任意的不等式恒成立，求k的取值范围

2函数f(x)( )是奇函数，且当

时是增函数，若f（1）=0,求不等

式<0的解集

B待定系数法的应用

3已知二次函数f(x)二次项系数为a且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）

（1） 若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式

（2） 若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围

4已知f(x)是二次函数，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式

C有关恒成立问题

5设,且为方程f(x)=0的两个实根，若,不等式对任意实数恒成立，求m的值

6已知函数，

（1） 当a=,求f(x)的最小值、

（2） 若对任意恒成立，试求实数a的取值范围

7我国是一个水资源比较缺乏的国家之一，各地采用价格控制手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费

若每月用水量不超过最低限量a()，只付基本费8元和每月定额损耗费c元:若用水量超过a()时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元；

一般来说,如果这个一元二次函数的定义域是R的话：

（1）函数开口向上,即a>0时,则没有最大值,只有最小值,即函数的顶点,可用函数的顶点公式：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)来求

（2）函数开口向上,即a<0时,则没有最小值,只有最大值,求法同上

若该函数的定义域不是R的话：

（1）函数开口向上,即a>0时：

①当-b/2a在定义域内时,有最小值,再看定义域区间

假设是闭区间[m,n],若-b/2a>(n+m)/2,则最大值是x=m时的函数值,若-b/2a<(n+m)/2,则相反,若两者相同,则最大值即是端点值

当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大值

还有就是区间是半开半闭的情况时,即[m,n)或(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,但若x取不到,则没有最大值

②当-b/2a不在定义域内时,

假设是闭区间[m,n],则最小值和最小值就是两个端点值,算一下再比较大小就行

当定义域区间是开区间（m,n）时,则无最大最小值

当区间是半开半闭的情况,即[m,n)或(m,n]时,按上面闭区间的方法计算,关键是看能不能取到,但肯定是只有一个最值的

至于函数开口向下,即a<0的情况,上面的看懂了就会了

其实最方便的还是画个草图,分情况讨论一下就行了 ,算二次函数的最值问题只要不弄错定义域,情况分清楚,不讨论错还是很简单的

很高兴为你解答有用请采纳