什么是有界函数和无界函数？

高数中的有界无界指的是函数的定义域和值域可取的范围。

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界

比如说是y=arctanx，它在整个实数定义域上有界。

你可以很形象地找到两个界限，一个是y=π/2，一个是y=-π/2，所有函数值超不过这个范围

如果一个函数有最小值和最大值，那么肯定是有界。

最大值和最小值就是界。

无界函数最形象的是y=tanx，当x趋近于π/2时，函数值趋近于无穷大。

无界函数的定义：对任意的M大于等于0且小于正无穷，存在x，使得绝对值fx大于等于M，则fx无界。

无界函数与无穷大量两个概念之间的区别：

1、无界函数的概念是指某个区间上，若对于任意的正数，总存在某个点，使得绝对值fx大于等于m，则称该函数是区间上的无界函数；

2、无穷大量是指在自变量的某个趋限过程下的因变量的变化趋势，若对于任意正数，总存在对一切满足，则称函数是无穷大量。

函数的值区别：

无穷大：函数的值无止境的大下去，无限度地大下去。

但是，不可以正负无穷大之间波动。

有界：函数的值在一个范围内。

无界：函数的值不在任何范围内。

极限：函数的值逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”A值就是界限。

扩展资料：

1、微积分介绍：

（1）微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

（2）微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等。

（3）积分学的主要内容包括定积分、不定积分等。

（4）从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

2、冯·诺依曼对微积分的评价：

微积分是现代数学的第一个成就，而且怎样评价它的重要性都不为过。

微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端；而且，作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。

3、阿蒂亚对微积分的评价：

人们要求降低微积分学在科学教育中的地位，而代之以与计算机研究关系更密切的离散数学的呼声日渐高涨。

许多离散现象的重要结果还是通过使用微积分才得到了最好的证明。

直到现在，分析无穷性的微积分学的中心地位仍然是无可争议的。

-极限

-无界函数

-有界函数

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性，例如 正弦函数f(x)=sin x ，取值范围是 -1到1 ，是一个有限的范围，因此可以说这个函数有界，而 y=x 这个函数的取值范围是 R，是一个无限的范围，所以可以说这个函数无界。

用数学语言描述：存在M∈R，使任意x∈f(x)的定义域，都有 |f(x)| ≤M， 则称函数f(x)有界

有界函数的证明：

设函数f（x）定义在一组实数a上。如果存在一个对所有x<a都具有不等式f（x）<m的正数m，则函数f（x）在a上有界。如果没有正数m的定义，则函数f（x）在a上无界，函数f在d上定义。如果存在m（l），那么对于每个x<d，存在：孪生（x）=m（x）>l）

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

无界函数的证明：

设函数

的定义域为D，若存在一个常数M(L)，使得

，都有

则称

为D内有上(下)界的函数，数M(L)称为

在D内的一个上(下)界。

扩展资料

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ) 是有界的，如果存在一个数M> 0，使得对于所有的自然数n，都有：

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

-有界函数

-无界函数

按定义证明

对于任意N，存在一个x0 = 2/（2N+1）pi 属于（0，1）,当x=x0时有

1/Xsin1/X = （2N+1）pi/2 sin（2N+1）pi/2 > N

所以无界

函数的有界性

定义:若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

注意:当一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。当一个函数有界时，它的上下界不唯一。由上面定义可知，任意小于m的数也是这个函数的下界，任意大于M的数也是这个函数的上界。

另一定义是:存在常数M>0，使函数y=f(x)容易证明这两种定义是等价的

例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的x∈D满足∣f(x)∣≤M,x∈D。

如何判断一个函数是否有界 就要看它是否无限趋近于一个常数，如是则有界，否则无界。

从上边趋近则有下界， 从下边趋近则有上界。

以上内容参考-有界性