格林函数的在生物医学光子学中的应用

在时域测量中，由于无限短的脉冲激励源可视为组织体边界下自由传输深度ls处的弥向的无限短脉冲点源（光子在t=0时刻同时入射），该冲击响应也因此被称为格林函数。格林函数对于解线性系统在实际光源激励下的响应问题具有很重要的意义。如果实际的光源为具有一定强度空间分布、时间分布、角度分布的光源，则此光源下的系统响应可表示为格林函数与光源分布函数的乘积在全空间、角度和时间域的积分。

例如，假设投射到组织体表面的光源的光子密度分布为q(r,s’,t)，系统的格林函数为G(r,s’,t)，则q(r,s’,t)下系统的响应为

为区别起见在后续将格林函数统一用G(r,t)表示，由于关于 的格林函数表示为 ，于是时变扩散方程

有 (356)

对于均匀媒质，上述方程的频域形式 可表示为 (357)

在式(356)中令 或在式(357)中令 ，即得稳态（或直流）扩散方程。对于均匀媒质，稳态（或直流）扩散方程表示为 。 作为其余各解析求解的基础，下面将首先建立无限媒质中的光学响应。为此，对式（357）两边取三维空间傅立叶变换 (358)

式中，s为频域空间矢量。对式(358)求空间的傅里叶逆变换，得

(359)

根据 ，并令r的方向与s之 方向一致，有

(360)

式中， ， ， 。

考虑到 ，所以 。进一步得

(361)

式中被积函数为偶函数，且在复平面有两个一阶极点： ，分别位于上下半平面，其中第一项 时趋于零，因此围道积分应在下半平面进行；反之式(361)第二项围道积分应在上半平面进行，于是根据留数定理 (362)

对上式求傅里叶反变换，得时域无限均匀媒质下的格林函数

(363)

于是由式(363)和式(354)可得

(364)

式中， 为r方向单位矢量。当连续以一定的速率注入光子，即稳态时，无线均匀媒质下的格林函数为

(365)

式中 称为有效衰减系数。 称为穿透深度。 对于如图38所示的半无限空间，格林函数可利用上述全空间解和镜像原理求得。我们仍然假定各向同性点光源位于组织体表面下 处。下面介绍镜像源的添加原理。

（1）零边界条件情况下

如图38(a)，在物理边界上采用Dirichlet边界条件，可在z<0半空间填充媒质并在 处加入负镜像点源。则根据唯一性原理，此时z=0区域的解与原问题解相同，则可实现半无穷空间的零边界条件，这样实际的物理边界就可以移去，从而可根据全空间的解式(363)可得半无穷空间任意一点A处(r=(x,y,z))的解

(366)

式中， 。 和 为 和 向的单位矢量，根据Fick原理，在边界上(z=0)距源的距离为 的点测得到的漫反射光流量为

(367)

当 时，从式(367)可以得到

(368) (369)

式(369)说明，吸收系数可以通过对 对t的曲线在t为无穷大时的斜率得到。另外扩散系数也可以通过 的最大点计算得到。由于在 与t的关系曲线上，顶点处斜率为零，如果设此时对应的时间为 并考虑到 ，则根据式(368)可得 (370)

由上面的几个公式可以看出，媒质的光学参数可以通过测量一定距离下扩散光随时间的变化曲线得到，这也是漫射光谱技术用于测量光学参数的理论基础。

（2）外推边界情况下

在外推边界条件下，物理边界可以通过在外推边界上部的 处放置镜像源而移去，见图38(b)。参考零边界条件的推导结果，相应地，对于外推边界条件 (371)

根据Fick定律，组织体表面的检测光流量为

(372)

式中 ， ， 。

对于稳态输入情形，在表面上(z=0)距离源为 的点测得的反射光强为

(373) 厚度为d的无限组织层格林函数同样可利用全空间解和镜像原理求得。设激励点光源位于组织体表面下 处，为了使光子密度在z=0处满足Dirichlet边界条件（不考虑外延边界）应在1'处加镜像元。为了在z=d处满足Dirichlet边界条件，应在2和2'处加镜像源用来分别抵消1和1'在z=d处的影响。而应在2和2'处加镜像源后又会造成z=0边界不满足边界条件，所以应在 放置无穷个镜像点源偶极子，如图39所示。于是很容易写出：

①z=0处的反射通量密度

(374)

式中 ， 。

②z=d处的反射通量密度

(375)

式中 ， 。

这是解偏微分方程边界问题的一种方法，主要应用于椭圆型方程的各类边界问题。理论上是完备的，可以用于讨论一些理论问题；但对具体问题，由于求解区域不同、定解条件的形式不同，不一定能写出具体的解析式来。

现在格林函数经常出现在常微分方程、椭圆型和抛物型的偏微分方程的边值问题,在理论物理的文献中是一个十分重要的概念利用格林函数可以将微分方程边值问题转化为积分方程问题例如,二阶线性常微分方程的非齐次边值问题的解,可用格林函数的积分形式表出求解Laplace方程、Helmholtz方程等,关键是确定相应的格林函数,而确定格林函数的困难程度取决于相应的边界形状．对数学物理方程作分离变量导致本征值问题,本征函数的确定,这些本征函数即为特殊函数．格林函数通常表述成相对应的本征函数的叠加展开,体现了线性叠加原理．

格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法

格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系等等，格林函数对于解线性系统在实际光源激励下的响应问题具有很重要的意义。

MA模型具有可逆性，AR和MA之间可以互相转换，任何一个AR(p)模型都可以表示为MA(∞)，任何一个可逆的MA(q)模型也表示为一个AR(∞)模型。

格林函数的物理意义：这个在物理里面有个电磁学公式就能体现出来，克斯韦的四个公式之一，磁场对时间的偏导数对该磁场区域面积的积分就等于该区域电场对该区域边界的环积分，至于理解还需要仔细研究高数的推导。

物理学中单体量子理论所使用的格林函数，其定义稍有扩充。它满足方程：（-）（，，）=（-），其中是单粒子哈密顿量，可以包括外场及杂质势等。单格林函数在无序体系研究中有重要应用，例如用平均矩阵近似、相干势近似求态密度。

格林函数

是物理学中的一个重要函数。在数学物理方法中，格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人G格林于1828年引入的。

为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格林函数。由于温度的倒数和虚时间有形式上的对应，温度格林函数也称为虚时间格林函数。为了研究T=0K的非平衡态行为，[kg2]引入了T=0K的时间格林函数及闭路格林函数。

定义不同，使用不同。

1、定义不同。格林公式是一个数学公式，格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。

2、使用不同。格林公式是使用在解平面曲线积分上的，格林函数在凝聚态物理学中常被使用。

我们这边考虑电子，体系本来处在|psi>态，然后在t时刻产生了一个电子，原因就是我们射入了一个光子（一股能量来激发电子），然后电子能量高到在t‘可以跑到材料外面，也即电子湮灭，所以格林函数很自然描述了粒子的散射过程

我们注意到一般电子不会立即跑到材料外面，也即t'>t，如果我们考虑因果律，这是一个很合理的过程，因为我们一般要先扰动系统，然后系统才会有响应（一般我们可以定义推迟格林函数，实验上测量的就是推迟格林函数，与之对应的成为超前格林函数，但是在我们生活的宏观世界时间反演对称性破缺，我们活在一个满足因果律的世界里，所以一般只需要计算推迟格林函数）

格林函数在地震工程学中是计算震源机制的函数。根据其发展和应用可以分为以下几类 。 除了以上介绍的几种格林函数的数值方法，还有解析法 。解析法只能用来计算横向成层介质的格林函数，再考虑计算时间及计算方法的稳定性方面计算的层数是优先的，对较复杂的局部场地条件则无能为力。张冬丽在对格林函数的解析法和数值法对比研究后得出以下结论：

（1）无论是单一点源或是有限断层模型，利用解析法和有限差分法所得出的结果是一致的，二者均可以反映出震源、波的传播途径和场地特性（断裂和上覆盖层速度结构）。

（2）解析法用于横向成层介质的格林函数较为简便，对于地形及速度结构较为复杂的局部场地条件的格林函数，用数值模拟的方法更为合适，故两种计算方法的结合可为计算较深震源及较大的计算区域打下基础。

（3）基于射线理论和波动有限元数值模拟，采用双力偶点源模型计算断层在断层顶面引起的地震影响场（解析法），并将其作为断层上覆盖层的波动有限元数值模拟的入射场，计算（数值法）得到的格林函数是合理的。它可以兼顾波的传播途径与场地波速层与地形的复杂性，同时大大减小了计算量，提高了计算速度，也可保证模拟的稳定性和精度，为进一步计算断层运动在局部场地引起的土层地震反应提供了必不可少的条件。 强震观测数据分析表明，在高频和低频两个不同频段内，地震动特征显著不同。高频段充分表现地震动的随机性，低频段主要受传播途径和局部场地条件的影响。根据上述几种格林函数方法的优缺点，选择用随机法估计得高频地震动和用理论或数值格林函数方法模拟的低频的地震动在时域叠加，是现今对于格林函数方法模拟和预测地震动的发展趋势。