正交矩阵

正交矩阵 为何正交矩阵一定可以对角化？

（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？首先，我们知道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：1. 特征值有且仅有 n 个（可以重复）;2. 对于 每个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的根。

根据高等代数基本定理，一元 n 次多项式方程，在复数域 C 内必然有 n 个根（包括重根）。

因此，只有保证 条件2 就可以保证 复数方阵 一定可以对角化。

然而，正交矩阵 A 定义为：在实数域 R 上，如果 n 阶 矩阵 A 满足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我们称 A 为 正交矩阵。

这个定义说明，正交矩阵是 实数域 R上，于是就要求其特征值必须是实数。

而，我们无法保证 正交矩阵的特征方程的n个根 一定都是实数。

进而，也无法保证 条件1，即，A 一定有n个实数根，来构成对角化矩阵，于是也就无法保证 A 一定可以对角化。

当然，更谈不上 条件2 了。

另一方面，n 维向量空间 Rⁿ 上定义了 内积 后就称为 欧氏空间，设e₁, e₂, e₃, ..., e_n是欧氏空间 Rⁿ 的一组基，又设， Rⁿ 中向量 a， b 在 这组基下的坐标 分别是 X 和 Y，则有：(a, b) = XᵀGY其中，称为，度量矩阵。

当 e₁, e₂, e₃, ..., e_n 是标准单位正交基时，G = E这时，对于任意 向量 a， b 以及正交矩阵A 有：(Aa, Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a, b)即，得到性质：(Aa, Ab) = (a, b)如果，欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换 A 也满足上面的性质，即，(Aa, Ab) = (a, b)我们就称 A 是正交变换。

由于，正交变换 A，是定义在欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换，因此，这就必然要求 A 在任何基下对应的矩阵是 实数矩阵。

所以这就，反过要求， A 对应的 正交矩阵 A 的对角线化 矩阵 必须是实数的。

最后，将正交矩阵扩展到 复数域，就是 酉矩阵。

那么，酉矩阵一定可以对角化吗？（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师同学，批评指正！）

通常我们讲正交orthogonal矩阵都是指的实矩阵，在负数域中的推广叫酉unitary矩阵，而我们一般所指的可对角化也是在给定数域中研究的，在复数域中一般也会强调成酉对角化。

对于这个问题，我们一般说实对称矩阵一定可以（实数意义上的）对角化（正规矩阵+特征值是实数），(实数意义上的)正交矩阵一定可以(复数意义上的)酉对角化。

希望对您有帮助。