A为实对称可逆矩阵，把二次型f=xTAx化为f=yTA^(-1)y的线性变换为，要直接的求法。

由于A为实对称可逆矩阵，则A^(-1)也是对称矩阵，于是令可逆线性变换X=A^(-1)Y

则

f=y^T(A^(-1))^T AA^(-1)Y=y^TA^(-1)y

即线性变换X=A^(-1)Y为所求

状态空间法的主要数学基础是线性代数。在状态空间法中，广泛用向量来表示系统的各种变量组，其中包括状态向量、输入向量和输出向量。变量的个数规定为相应向量的维数。用x表示系统的状态向量,用u和y分别表示系统的输入向量和输出向量，则系统的状态方程和量测方程可表示为如下的一般形式： 夶＝f(x，u，t)，　y＝g(x，u，t) 式中,f(x，u，t)和g(x，u，t)为自变量x、u、t的非线性向量函数,t为时间变量。对于线性定常系统状态方程和量测方程具有较为简单的形式： 夶＝Ax＋Bu，　y＝Cx＋Du 式中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵,D为直接传递矩阵，它们是由系统的结构和参数所定出的常数矩阵。在状态空间法中，控制系统的分析问题常归结为求解系统的状态方程和研究状态方程解的性质。这种分析是在状态空间中进行的。所谓状态空间就是以状态变量为坐标轴所构成的一个多维空间。状态向量随时间的变化在状态空间中形成一条轨迹。对于线性定常系统，状态轨迹主要由系统的特征值决定。系统的特征值规定为系统矩阵A的特征方程det(sI-A)=0的根，其特征可由它在s复数平面上的分布来表征。当运用状态空间法来综合控制系统时，问题就变为选择一个合适的输入向量，使得状态轨迹满足指定的性能要求。 收起

Imin=imread('lenajpg');

imshow(Imin);title('原始图像');

Imout=imadjust(Imin,[30/255,150/255],[150/255,255/255]);

figure;imshow(Imout);

问题不全，只回答了一部分。需要帮的话我邮箱:weiguang@foxmailcom

线性代数在科学领域有很多应用的场景，如下：

矩阵，是线性代数中涉及的内容，

线性代数是用来描述状态和变化的，而矩阵是存储状态和变化的信息的媒介，可以分为状态（静态）和变化（动态）信息来看待。

描述一个事物的状态需要在一个选好的坐标系（什么样的向量空间）中进行，所以矩阵所包含的信息从来都是成对出现（坐标值和坐标系）。而基就是坐标系的信息，可以将其拆分出来。

当把矩阵以动态信息来看待时，其信息的侧重点在于变化二字。这时的矩阵可以看做是一个方程。

通过矩阵内所描述的变化规则从一个状态变换到另一个状态。变换可以理解为事物本身的变化，也可以理解为坐标系的变化。

矩阵的本质：

探讨矩阵的本质的话，可以先看这篇文章：

理解矩阵（最通俗易懂的教程——高数-线性代数-矩阵

其思路概括来说如下：

首先要有空间的概念，如果不考虑严谨的定义，你可以用我们熟知的二维或者三维空间来想象：里面有无穷多的点，通过某些动作，可以从一个点“移动”到另一个点，容纳运动是空间的本质特征。

线性空间也是一种空间，线性空间是容纳向量对象运动的。如果选定了坐标系，那么一个向量可以用它在每个维度上的坐标值来表示，比如二维空间里可以表示为[x, y]，三维空间可以表示为[x, y, z]，更高维虽然无法想象，但仍然可以用类似的数学方式表示出来。

向量共有两种形式，一种为列向量，一种为行向量。虽然我们可能比较习惯行向量，但在这里，我们默认使用列向量。比如[-1,2]就这样表示：

我们可以通过某种运算，把空间里的一个点“移动”另一个位置。比如我们想把[-1,2]移动到[5,2]，可以执行如下运算：

上图中左边的这个变量，就是一个矩阵，所以矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。

换言之， 矩阵的乘法，本质是一种运动 。但除此以外，还有另外一种理解方式。

我们知道，运动是相对的，把[-1,2]变成[5,2]，除了“移动”，还可以通过变换坐标系的方式实现。也就是说，找到这样的一个坐标系，在那里，同样的一个向量可以表示为[5,2]。

在这个情况下，对上面那个矩阵相乘例子而言，里面的那个2x2方阵就可以理解为一个坐标系，在这个坐标系下，[-1,2]这个向量可以表示为[5,2]。

比如上面这个动图中，通过坐标系变化，把红色向量[0,1]、绿色向量[1,0]变成了[3,0]和[1,-2]。

因此， 矩阵的实质就是将坐标整体线性变换

矩阵的基本定义：

矩阵： 有mn个数排成m行n列的数表成为m行n列矩阵，简称m x n矩阵，记为A。

负矩阵： -A称为矩阵A的负矩阵

行矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量；A=(a1 a2 an)

列矩阵： 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量；

同型矩阵： 两个矩阵行数列数均相等，称他们为同型矩阵；

相等：  若两个矩阵是同型矩阵，且它们的对应元素相等，成这两个矩阵相等。

零矩阵： 元素都是零的矩阵。注意：不同型的零矩阵是不同的。

系数矩阵 ：线性方程组的系数构成的矩阵称为系数矩阵。

方阵： 当矩阵的行数与列数相等的时候，称之为方阵

奇异矩阵： 对应的行列式等于0的方阵。即当|A| = 0时。

非奇异矩阵： 对应的行列式不等于0的方阵。即|A|≠0时。

数量矩阵： 如果一个矩阵的对角线元素全部相同,其余元素都是0,这个矩阵叫数量矩阵,又叫纯量矩阵。

对角矩阵： 简称对角阵（默认为正对角阵）。是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。对角线上元素可以为 0 或其它值。记为 A = diag(λ1,λ2,,λn)  ； 分为正对角阵和反对角阵。

对称矩阵： 是元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵对阵矩阵定义为：A=AT（A的转置），对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i)

反对称矩阵： 反对称矩阵（又称斜对称矩阵）定义是：A= - AT（A的转置前加负号）　它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值 相等，符号相反，于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A（i,i)=0

单位矩阵： 主对角线上的元素为1，其它元素为0的矩阵。用E表示

例如一个 3 × 3的矩阵：

别的矩阵和单位矩阵相乘，得到的结果就是其自身：A × I = A

行列式： 行列式（Determinant）是数学中的一个函数，将一个n×n的矩阵A映射到一个标量，记作 det(A)或 |A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

在任意的一个方阵都存在这样的一个标量,称作该方阵的行列式

余子式： 代数余子式是这样定义的,对于一个方阵M,给定行、列元素的代数余子式等于对应的余子式的有符号的行列式

我们把上面的这句定义给提炼一下,某个矩阵的代数余子式是行列式,那么我们已经注意到了,某个矩阵的余子式是一个矩阵这样我们就知道两者的不同之处了,一个是标量,一个是矩阵,这就是两者的不同之处好了,了解完两者的不同之处之后,我们来看代数余子式的计算方法是怎么定义的,如下所示

只有上面的公式让我们感到很无助不是,那么接下来我们用一个接着余子式的示例来求解对应的代数余子式如下所示

那么说了这么多余子式和代数余子式的知识,到底对我们的行列式的求解有什么帮助呢其实,我们是可以利用余子式和代数余子式直接计算任意n维方阵的行列式,首先,我们找到矩阵的任意一行i(i不大于最大行数),然后,列数j依次增加具体的计算公式如下所示

那么有了公式之后避免不了就是验证,接下来我们就用公式来推导4x4方阵的行列式由于有了计算公式的便利,我们计算起来就比较方便了,但是我们要仔细判断每一个项的正负(自己验证的时候没注意,验证出错两三遍)这里,我选择的i =1(自己验证的时候可自行选择i) ,具体的验证过程如下所示(由于其中的项过多,所以分两步截图)

通过上面我们发现,行数列数越多的方阵行列式的复杂度就会越高复杂度会呈指数增长我们计算到4x4的就已经非常的麻烦了(其实4x4的行列式我们已经够用了),那么要是在来个10x10的方阵行列式,我们岂不要疯掉这里,书中提到了一种行列式的计算方式叫做" 主元选择 "的计算方式,感兴趣的小伙伴可自行查询资料

上面我们已经说完了行列式,但是说了一大堆,我们还是懵圈的,那么行列式是用来干什么的呢或者说是行列式代表着什么意义呢其实,在2D中行列式代表着以基向量为两边的平行四边形的有符号面积在3D环境中则代表着以基向量为三边的平行六面体有符号体积我们看以下示例来验证我们的想法

如图所示,在2D环境中有基向量v = [3 0] ,u = [1 2]那么它的面积是3x2 = 6,它的行列式是3x2-1x0 = 6,我们发现行列式是和面积相等的(当然了,如果基向量v = [-3 0] ,行列式最终计算出来的值为-6)

接下来,我们看一下在3D环境中的有三个基向量u = [2 0 0],v = [1 2 0],w= [0 0 1],如图所示

然后我们计算由上面三个基向量所围成的正六面体的体积为1x2x2 = 4,计算的三个基向量所组成的矩阵的行列式发现两者的绝对值是相等的如下所示

伴随矩阵： 矩阵A的伴随矩阵就是其余子矩阵的转置矩阵,记做：

用伴随矩阵求逆矩阵

这个是我自己想飞算法：

逆矩阵： 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。记作： A-1

A × A-1 = I

那么我该如何计算方阵M的逆呢在我看的3D图形上是给出了如下的方法

在上面的公式中矩阵的行列式我们知道如何求解,那么adj M是什么鬼adj M叫做矩阵M的伴随矩阵,定义为矩阵M的代数余子式矩阵的转置矩阵(挺绕口)没事,我们看一下示例是如何解释的这个的假设矩阵M如下所示

矩阵A的|A|的行列式还可以如此计算：

拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

转置矩阵

转置矩阵其实是原来矩阵的行变成了新矩阵的列，以一个90°的角度进行了旋转。下面两个图就是矩阵A和它的转置矩阵AT。

矩阵转置的推理

       将一个矩阵转置之后,再次转置一次,便会得到原来的矩阵

对于任意的对角矩阵D,都有转置矩阵DT=D,包括单位矩阵I也是如此

正交矩阵：

先来看一下正交矩阵是如何定义的,若方阵M是正交的,则当且仅当M与他的转置矩阵M^T的乘积等于单位矩阵,那么就称矩阵M为正交矩阵

MTM=I

在矩阵的逆中我们知道,矩阵的逆和矩阵的乘积为单位矩阵I,由此推理,我们可以知道,如果该矩阵为正交矩阵,那么矩阵的逆和转置矩阵是相等的

MT=M-1

那么正交矩阵存在的意义是什么呢其实如果一个矩阵是正交矩阵,那么矩阵的逆和转置矩阵是相等的转置矩阵是非常简单计算的,而计算矩阵的逆如果使用代数余子式计算是非常的麻烦,所以我们可以直接计算转置矩阵然后直接得到该矩阵的逆

矩阵的运算：

加法运算：

例如：

颜色相同的方框数字进行相加，例如这里： 8 + 3 = 11，6 + 10 = 16

减法运算：

需要注意的是，进行加减运算的两个矩阵维度必须是相同的。

矩阵乘以标量

类似，矩阵除以标量不再赘述

矩阵相乘

需要注意的是：

1左边矩阵的列数，要和右边矩阵的行数相同。

2相乘的位置不能互换 A × B ≠ B × A

3相乘的次序不影响结果( A × B ) × C = A × ( B × C )

矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

下面是一组线性方程式。

矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。

老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。

x 和 t 的关系如下。

有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。

上面的方程组可以整理成下面的形式。

最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。

矩阵相乘的应用：

先看一个例子：

某公司有四个工厂生产三种产品，已知每种产品的产量，利润和占地空间，因为工厂设在不同的地方，所以老板想调整一下各个工厂的产品输出，所以你告诉老板每个工厂的现有利润和占地空间。

产量：吨

工厂\产品P1p2p3

甲524

乙382

丙604

丁016

利润：万元  空间：平方米

产品利润空间

P124

P213

P332

一般求解是这样的：产量利润=总利润，产量空间=总空间

所以就是那12个结果，都会算

如果用矩阵来表示呢

直接拿(产量)(利润，空间)就能直观的看到结果了。

这里是矩阵乘法的简单应用。

4X4齐次矩阵

两条平行线会相交吗

在没有认识到齐次空间之前,我们知道两条平行线是不能相交的,但是两条平行线真的不能相交吗我们看下面这幅图,我们都知道两条铁轨是平行的,但是这两条平行的铁轨在无穷远处会相交于一点这对吗在笛卡尔2D坐标系中, 我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一个 2D 点，而处于无限远处的点 (∞,∞) 在笛卡尔空间里是没有意义的。所以我们是无法解释这种现象的,但是在齐次空间中,我们可以解释这种现象

带着上面的两个问题,我们开始我们的齐次坐标之旅其实齐次空间的出现主要是用于投影问题的解决所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示 4D齐次空间有4个分量分别是(x,y,z,w),第四个是w,称为齐次坐标那么在3D笛卡尔坐标系中可以使用其次坐标表示为(x/w,y/w,z/w)

那么我们就解决第一个问题,解释两条平行线投射到一个2D平面中相交于一点我们知道在2D笛卡尔坐标系中用Ax+By+C= 0表示一条直线两条平行直线相交的话,要关联两个方程式如下所示

在笛卡尔坐标系中,上述的两者如果相交,那么C=D=0,也就是两者是同一条过原点的直线显然是解释不了两条平行线相交于一点的如果我们引入齐次坐标的概念的话,我们把x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里,如下所示

上面的方程式组可以转换为下面的方程式组

在C≠D的情况下,那么对方程组求解,就是w = 0两条直线相交,那么就是(x,y,0)两条直线相交于无限远处

那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？

1它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法

2它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程

矩阵的几何解释

与其说矩阵的几何意义这么生涩难懂,不如说的是矩阵在几何中到底是有什么作用呢一般来说,方阵可以描述任意的线性变换,也就说,在几何当中,我们用矩阵表示几何体的空间变换比如我们在程序中常用的平移、旋转、缩放等等(没事,这时候说的可能很生涩,看到最后你就会明白怎么回事的)

为了更好的理解矩阵的几何意义,我们先用一个简单的示例来说明一下如果我们把一张放入一个2D的坐标系中(为了给下面做铺垫,向量形式为[x,y,0]),并且规定它的大小为边长为1的正方形向量p = [0,1,0],向量q = [1,0,0]如下图所示

现在我们就单独的看的右上顶点 [1,1,0] (可看做向量)

首先我们先把[1,1,0]这个向量拆分一下如下所示

紧接着我们要定义一下,p,q和r定义为指向 +x,+y,+z方面的单位向量然后用单位向量表示的右上顶点 [1,1,0] 如下所示

现在,向量[1,1,0]就被表示成p,q和r的线性变换了向量p,q和r被称为基向量这里的基向量是笛卡尔坐标系但是事实上,一个坐标系能用任意的3个基向量表示当然了,这三个向量不在同一个平面向量p,q和r创建一个3x3的矩阵M如下所示

当然了,矩阵M可不单单只有上面的一种形式,上面的只能算是一种形式,记住我们说过的,一个坐标系能用任意的3个基向量表示接下来,我们再次研究一个向量和一个矩阵相乘(图形变换的开始部分),先看一下公式

我们还是要借助一开始栋哥的那个坐标系图形如果矩阵M如下所示那么图形将不会发生任何变换

接下来,我们就搞起图形变换了如果矩阵M发生了如下改变,那么图形会有什么样的变化呢

在矩阵M中向量 p 从[1 0 0]变换到[2 1 0], q 从[0 1 0]变换到[-1 2 0], r 未发生变化然后我们图形的右上点会再次发生缩放和旋转的变换

得到效果图如下所示

上面是2D中的变换,3D中的变化一样类似例如现在有向量OB[1 1 1],如下图所示

同时矩阵M如下所示

结果变换之后,向量的图像如下所示

平移矩阵

在3D图形:矩阵与线性变换我说过几种线性变换,比如旋转,缩放,镜像等等,唯独没有平移,但是在日常开发过程中,平移应该算的上我们很常用的一种仿射变换了那么这是为什么呢根据书上所说,矩阵的乘法性质所决定的,零向量总是变换成零向量,所以任何矩阵的乘法表达的变换是不会有平移的但是我们却可以使用4X4平移矩阵表示3D环境中的平移变换,使用3X3平移矩阵表示2D环境中的平移变换(假设w不变且w = 1)具体公式如下所示

（1）编写用双性变换法设计巴特沃兹低通IIR数字滤波器的程序，要求通带 内频率低于02pirad时，容许幅度误差在1dB之内，频率在03pirad到pirad 之间的阻带衰减大于10dB。

（2）用双线性变换法设计Butterworth低通IIR数字滤波器，要求使用buttord， butter和bilinear函数。滤波器技术指标：取样频率1Hz，通带内临界频率02Hz，通带内衰减小于1dB；阻带临界频率03Hz，阻带内衰减大于25dB。

（3）以pi/64为取样间隔，在屏幕上打印出数字滤波器的频率区间[0,pi] 上的幅 频响应特性曲线(|H(ejw)|或20lg|H(ejw)|)。

（4）在屏幕上打印出H（z）的分子，分母多项式系数。

扩展资料

通带截止频率为02prad，阻带截止频率为03prad，图中横坐标w是数字频率，对应的模拟频率为0-fs/2。通带截止频率为04prad，阻带截止频率为06prad

看低通滤波器的幅频特性，并掌握了用双线性变换法设计巴特沃斯低通IIR数字滤波器的方法。双线性变换法首先根据模拟滤波器的指标设计出相应的模拟滤波器，然后再讲设计好的模拟滤波器转换成满足给定指标的数字滤波器。

1、你手算的有错误吧？按照z=(2-s)/(2+s)替换，不应该是你写的结果：

>> syms z s

>> g = (3z-4)/(z^2-2z+1);

>> g1=simple(subs(g,z,(2+s)/(2-s))) 

g1 = 

1/4(-4+16s-7s^2)/s^2

2、直接用d2c(g)并不是使用双线性变换法，而是使用默认的零阶保持法（zoh）。

3、双线性变换法应该用d2c(g,'tustin')：

>> d2c(g,'tustin')

 

Transfer function:

-175 s^2 + 4 s - 1

-------------------

        s^2

和上面使用符号运算得到的结果是一致的。

  本节主要目的是介绍图像增强的一些基本概念。来源于东北大学 魏颖教授的数字图像课程笔记。

  将图像中像素亮度（灰度级别）看成是一个随机变量， 则其分布情况反映了图像的统计特性，这可用Probability Density Function (PDF)来刻画和描述，表现为 灰度直方图 （Histogram）。

  灰度直方图是灰度级的函数，表示图像中 具有某种灰度级的像素的个数 ，反映了图像中每种灰度出现的频率。

  灰度直方图的 横坐标是灰度级 ， 纵坐标是该灰度级出现的频度 ，它是图像最基本的统计特征。

  直方图均衡化处理是以 累积分布函数 变换法为基础的直方图修正法。假定变换函数为

  式中： 是积分变量，而 就是 的累积分布函数。

  累积分布函数是 的函数，并且单调地从0增加到1， 所以这个变换函数满足关于 在 内单值单调增加。在 内有 的两个条件。可以推导出，变换后的变量s的定义域内的概率密度是均匀分布的。

  用 的累积分布函数作为变换函数，可产生一幅 灰度级分布具有均匀概率密度 的图像。

  考虑到灰度变换不影响像素的位置分布，也不会增减像素数目。所以有

  应用到离散灰度级，设一幅图像的像素总数为 ，分 个灰度级。

  第 个灰度级出现的频数。第 个灰度级出现的概率 其中 ， 。形式为：

  直方图均衡化，力图使 等长区间 内出现的像素数接近相等。

  图像由像素组成，视觉效果与像素的灰度有关。从而可以通过改变像素灰度值来改变图像的视觉效果。 灰度变换 是一种点 *** 作，赋予每个像素新的灰度值，关键在于设计变换函数（映射规则）。本节主要介绍三种灰度变换方法： 线性灰度变换 ； 分段线性变换 ； 非线性变换 。

  1 线性灰度变换

  当图象成象时曝光不足或过度, 或由于成象设备的非线性和图象记录设备动态范围太窄等因素。都会产生对比度不足的弊病，使图象中的细节分辨不清。这时可将灰度范围线性扩展。

  设 灰度范围为 ， 灰度范围为 。

  假定原图像 的灰度范围为 ，希望变换后图像 的灰度范围扩展至 ，则线性变换可表示为：

  为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制不感兴趣的灰度区域，可采用分段线性变换。常用的三段线性变换法数学表达式如下：

  噪声可以理解为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”。例如，一幅黑白图像，其亮度分布假定为 ， 那么对其起干扰作用的亮度分布 便称为图像噪声。

  噪声在理论上可以定义为“不可预测， 只能用概率统计方法来认识的随机误差”。将图像噪声看成是多维随机过程是合适的，描述噪声的方法完全可以借用随机过程及其概率分布函数和概率密度函数。

  但在很多情况下，这种描述方法很复杂，甚至不可能，而且实际应用往往也不必要，通常是用其 数字特征 ， 即均值方差 、 相关函数 等进行处理。

  图像噪声按其产生的原因可分为 外部噪声 和 内部噪声 。外部噪声是指系统外部干扰从电磁波或经电源传进系统内部而引起的噪声，如电气设备、天体放电现像等引起的噪声。主要外部干扰如下：

（1） 由光和电的基本性质所引起的噪声。

（2） 电器的机械运动产生的噪声。如, 各种接头因抖动引起的电流变化所产

生的噪声；磁头、磁带抖动引起的抖动噪声等。

（3） 元器件材料本身引起的噪声。如, 磁带、 磁盘表面缺陷所产生的噪声

（4） 系统内部设备电路所引起的噪声。如, 电源系统引入的交流噪声，偏转

系统和箝位电路引起的噪声等。

  图像噪声从 统计特性 可分为 平稳噪声 和 非平稳噪声 两种。统计特性不随时间变化的噪声称为平稳噪声；统计特性随时间变化的噪声称为非平稳噪声。

  另外，按噪声和信号之间的关系可分为 加性噪声 和 乘性噪声 。

  假定信号为 ，噪声为 ，如果混合叠加波形是 形式，则称其为加性噪声；如果叠加波形为 形式， 则称其为乘性噪声。

  为了分析处理方便，往往将乘性噪声近似认为加性噪声，而且总是 假定信号和噪声是互相独立 的。

   （1）高斯噪声 ：

  高斯噪声是一种源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声。高斯噪声也常称为正态噪声，符合高斯分布。是自然界中最常见的噪声。高斯噪声可以通过空域滤波的平滑滤波方法来消除。

  椒盐噪声又称双极脉冲噪声，其概率密度函数为：

  椒盐噪声是指图像中出现的噪声只有两种灰度值，分别为a和b，通常情况下脉冲噪声总是数字化为允许的最大或最小值，所以负脉冲以黑点(类似胡椒)出现在图像中，正脉冲以白点(类似盐)出现在图像中。

  出现位置是随机的，但噪声的幅值是基本相同的。

  出现在位置是一定的（每一点上），但噪声的幅值是随机的。

  改善降质图像的方法有两类： 图像增强 和 图像复原

  （1） 图像增强 ：不考虑图像降质的原因， 只将图像中感兴趣的部分加以处理或突出有用的图像特征，故改善后的图像并不一定要去逼近原图像。主要目的是要提高图像的可懂度。（2） 图像复原 ：针对图像降质的具体原因，设法补偿降质因素，使改善后的图像尽可能地逼近原始图像。

  图像增强处理的方法基本上可分为 空间域法 和 频域法 两大类。

  （1） 空间域法

  在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。它又分为两类：点运算和局部运算点运算：对图像作逐点运算局部运算：在与处理像点邻域有关的空间域上进行运算。

  （2） 频域法

  在图像的变换域上进行处理， 增强感兴趣的频率分量， 然后进行反变换，得到增强了的图像。

  线性滤波器是线性系统和频域滤波概念在空域的自然延伸。其特征是结果像素值的计算由下列公式定义：

  其中： 是模板的系数 是被计算像素及其邻域像素的值。就是利用模板（滤波器）进行的卷积运算。

   主要线性空域滤波器 ：主要包括 低通滤波器 、 高通滤波器 、 带通滤波器 。 低通 滤波器主要用于：钝化图像、去除噪声； 高通 滤波器 主要用于边缘增强、边缘提取； 带通 滤波器主要用于删除特定频率。

   非线性滤波器的定义 ：使用模板进行结果像素值的计算，结果值直接取决于像素邻域的值，而 不使用乘积和 的计算。 主要非线性滤波器有 ：中值滤波、最大值滤波、最小值滤波。

  线性平滑滤波器： 均值滤波器

  分别采用 像素的方形均值滤波器得到的平滑结果。

  模板尺寸越大，图像越模糊，图像细节丢失越多

  低通空域滤波的缺点和问题如果图像处理的目的是去除噪声，那么，线性平滑低通滤波在 去除噪声的同时也钝化了边和尖锐的细节 。

   统计滤波器是非线性滤波 ：滤波器模板包围的图像区域中像素排序，统计排序结果代替中心像素的值； 中值滤波器是应用最广泛的统计滤波器 ；中值滤波对一定类型的随机噪声（如椒盐噪声）提供了优秀的去噪能力，比小尺寸的线性平滑滤波器的模糊程度明显低。

   中值滤波的原理

  用模板区域内像素的中值，作为结果值 ；强迫突出的亮点（暗点）更象它周围的值，以消除孤立的亮点（暗点）

中值滤波算法的实现

   在去除噪声的同时，可以比较好地保留边的锐度和图像的细节。对于椒盐噪声，中值滤波效果比均值滤波效果好；对于高斯噪声，均值滤波效果比中值滤波效果好。

   最大值滤波可以去除图像中的暗斑，同时也会使亮斑增大；最小值滤波可以去除图像中的亮斑 ，同时也会增大暗斑。

   图像边缘是图像的基本特征之一，它包含对人类视觉和机器识别有价值的物体图像边缘信息。

   边缘是图像中特性（如像素灰度、纹理等）分布的 不连续处 ，图像周围特性有阶跃变化或屋脊状变化的那些像素集合。图像边缘存在于目标与背景、目标与目标、基元与基元的边界，它标示出目标物体或基元的实际含量，是图像识别信息最集中的地方。

   图像锐化就是要 突出图像边缘 ， 抑制图像中非边缘信息 ， 使图像轮廓更加清晰 。由于边缘占据图像的高频成分，所以边缘增强通常属于 高通滤波 。

   这里介绍三个方法：(1) 基本高通滤波模板；(2) 高频补偿滤波；(3) 图像微分，包括：一阶微分—梯度法；二阶微分—拉普拉斯算子；

   (1) 基本高通滤波模板

   我们先介绍高通滤波模板： 图像锐化是要增强图像频谱中的高频部分 ，就相当于 从原图像中减去它的低频分量 ，即原始图像经平滑处理后所得的图像。选择不同的平滑方法，会有不同的图像锐化结果。

  或：

   为原象， 为平滑后图像 为输出图像。

  设计模板系数的原则：1）中心系数为正值，外围为负值；2）系数之和为0

   基本高通空域滤波的缺点和问题 ：高通滤波在增强了边的同时，丢失了图像的层次和亮度。

   (2) 高频补偿滤波（提升滤波） ：

  弥补高通滤波的缺陷，在增强边和细节的同时，不丢失原图像的低频成分。

  高频补偿比高通的优点是很明显的，即增强了边缘，又保留了层次。噪声对结果图像的视觉效果有重要的影响，高频补偿在增强了边的同时也增强了噪声。

   (3) 图像微分

   均值产生钝化 的效果，而 均值与积分 相似，由此而联想到， 微分 能不能产生相反的效果，即 锐化 的效果呢？结论是肯定的。图像微分主要有一阶微分和二阶微分。

   Roberts交叉梯度算子 ：

  采用梯度微分锐化图像，同时会使噪声、条纹等得到增强，Sobel算子则在一定程度上克服了这个问题。

（1） 对图像中的随机噪声有一定的平滑作用。

（2） 边缘两侧元素得到了增强，边缘显得 粗而亮 。

  对数字图像来讲， 的二阶偏导数可表示为：

  采用拉普拉斯算子对图像的增强的基本方法可表示为：

   频率 平面与图像 空域 特性的 关系 。

  图像 变化平缓的部分 靠近频率平面的圆心，这个区域为 低频区域 ；图像中的 边、噪声、变化陡峻的部分 ，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为 高频区域 。

(1) 用 乘以给定的图像 ，计算出它的傅立叶变换 。

(2) 选择一个变换函数 （频域滤波器）乘以 。

(3) 计算(2)的反DFT:

(4) 取(3)的实部

(5)用 乘以(4)的结果

  频域增强与空域增强的关系：1 在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现。2 对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要。在图像压缩中更体会到。

  这里我们介绍频域滤波器的三种滤波器：1）低通滤波；2）高通滤波；3）同态滤波。

   （1）平滑（低通）滤波 ：

  频域低通滤波的基本思想 ， 是需要钝化图像的傅立叶变换形式, 是选取的一个滤波器变换函数 是通过 减少 的高频部分,来得到的结果运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。

   理想低通滤波器的定义 ：

   平滑（低通）滤波—理想低通滤波 ：

  （1）整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量中。（2）小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多05%的能量中。（3）被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果——理想低通滤波器的一种特性所影响。

  理想低通滤波器的平滑作用非常明显，但由于变换有一个陡峭的波形，它的反变换 有强烈的振铃特性，使滤波后图像产生模糊效果。因此这种理想低通滤波实用中不能采用。

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